例談不同視角下的三角函數計算中學生運算素養的培養

（陜西省禮泉縣第一中學 陜西咸陽 713200）

高中數學核心素養主要是指：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析這六個方面。其中數學運算素養關乎學生成績的高低，高考數學《考試說明》對運算能力也有明確的要求：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡潔的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算。

三角函數屬于高中數學主干知識，在高考試題中難度屬于中低檔，但是學生在這部分的得分情況并不盡人意，往往是會而不對、對而不全，實質上學生只要真正掌握本章的知識，是可以拿全分的。同一個三角函數問題，學生思考的角度不同、維度不同，其涉及的運算量是有差距的，合理地選擇運算途徑，可以有效減少運算量，從而提高運算能力。但是簡潔的運算是建立在學生有扎實的知識儲備，深刻靈活的思維基礎上的，由于現階段的高考不再是知識立意而是能力立意、素養立意，因而學生要適應當前高考對計算能力層次的考查，必須提升運算素養。那么在教學中基于“運算”視角下的三角函數教學觀，我們可以關注以下幾個方面：

一、掌握三角函數概念，完善知識體系

有學者說學數學就是學概念，概念是思維的細胞，要會根據概念的不同表征，深刻理解概念，對概念的理解會隨著知識的深化、完善而不斷發展變化，這是一個循序漸進的過程，同時要注意定義在不同的題型中靈活應用。在理解時要善于發現知識點之間的聯系和規律，學會知識信息的轉換，積極開展類比、聯想以完善認知結構，使學生系統、全面地理解知識，從中歸納出最簡捷的解題方法。

例1：已知，則tanα=_______.

學生易想到的解法如解法1：（構造齊次式）

解法2：（方程思想）

解法3：（輔助角公式）

求解本題時，很少有學生能想到定義也是可以完成的，說明學生對定義的認知有局限性，往往忽視定義在計算中的作用。

解法4：（定義法）

二、立足函數性質，凸顯三角特性

三角函數作為學生高考的主要得分區域之一，無論試題如何變化，高考的重心仍會在性質方面，一般考查三角函數定義域與值域、單調性、周期性、奇偶性與對稱性等，若靈活運用函數性質，可有效減少運算量。

例2：已知f(x)=為偶函數，則實數a,b滿足的關系是_______.

以上解法1根據偶函數定義，思維量小，計算量大，解法2利用偶函數的必要性，解法3抓住奇偶函數的導函數的性質，解法4抓住三角函數的性質，也使問題迎刃而解。

三、挖掘運算的多樣性，提升學生的思維品質

數學思維品質的表現有以下五個方面：敏捷性、靈活性、深刻性、獨創性、批判性。學生的運算能力與思維品質密不可分，思維品質決定計算的方向、途徑、及改變障礙思維的能力，在本章中經常涉及三角恒等變形、最值的運算，學生會根據自己的認知能力有不同的運算途徑，要在對比中逐步完善學生思維品質。

例2：設當時，取得最大值，則cosθ=_______.

在以上的解法中，體現出學生不同的思維層次，其中解法1、2常規，大部分學生只想到輔助角公式，再通過角的變換或用方程求解，顯然解法3、4獨辟蹊徑，充分結合柯西不等式、導數研究函數最值的方法，可見對同一個問題思維的發力點不同，直接決定解題的簡潔程度，因而在教學提升學生的思維品質顯得尤為重要。

四、抓住知識間縱橫聯系，培養創新意識

運算是思維的載體，運算能力體現學生思維能力，向量與三角函數密不可分，如上例中，構造函數f(x)為兩個向量的數量積，使問題的解決別開生面，所以在教學中要善于培養學生的創新思維，培養創新意識。

五、增強學習信心，培養學生的意志力

G.波利亞認為，解題是一種信心和意志力的教育?？v觀歷年高考題，三角函數的考查都難度不大，所以教師在高一講授新課、高三復習本章時，都要給學生極大的信心支持，即使有創新題目，也要排除膽怯心理，大膽應對，只要審題認真、細心計算，均可將這一部分的分數囊括手中。當然自信心的培養需要一個過程，并且和學生運算能力的逐漸提高緊密相連的。但是教師也要有意識的破除學生的畏難心理暗示，提高運算的自信心。

學生運算素養的培養是一個系統過程，往往我們教師只注重對問題思路、方法的點撥，忽視了對問題完整的解答過程，豈不知一個完整、完備的思維過程也應包含計算過程，因而運算素養的培養必須建立在運算能力的基礎之上，教師只有從基于“運算”的課堂抓起，在學生其他素養的綜合運用下優化運算，從而提升運算素養。