值得舉一反三的一維階梯勢問題*
2018-07-13 08:51陸愛江楊沁玉
物理通報 2018年7期
陸愛江 楊沁玉
(東華大學理學院物理系 上?！?01620)
在《量子力學》課程中一維定態問題是一個教學的重點．它是學習量子化概念的基礎，也是學生初次接觸薛定諤方程，對量子概念有所體會的生動范例．我們在課堂上對很多基本的一維勢阱、勢壘問題做出了細致的講解和計算，也有很多同仁對這些問題進行討論[1，2]．而對這一類問題——一維階梯勢問題[3，4],我們卻較少關注．此類問題在習題中、考研試卷中偶爾出現[5，6],考查學生求解一維薛定諤方程的基本技能．一維階梯勢的問題不是一個特殊的問題,但是在與學生的討論和教學中我們發現,這是一個值得認真研究的問題．
1 高于零點的階梯勢 且粒子能量E>V0
1.1 粒子從左側入射
首先我們來看看教材中的習題設計[7]．首先,一維階梯勢的勢分布以分段函數形式給出 ，如圖1所示.
圖1 高于零點的一維階梯勢分布
(1)
假設粒子(能量E>V0)從左側入射,求解反射系數和透射系數.
規范的求解步驟如下.
(1)寫出薛定諤方程
(2)
(2)對不同區域求解
I區
(3)
ψI=Aeikx+Re-ikx
(4)
II區
(5)
ψII=Teik′x
(6)
(7)
進而得到反射系數為
(8)
對這個結果我們可以討論兩種極限的情況．β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢的高度)，反射系數趨近于零,粒子完全通過；β≈1時(粒子能量與階梯平齊)，反射系數趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側區域(Ⅱ)．
1.2 粒子從右側入射
如果粒子(能量E>V0)從右側入射,情況會不會不同呢?
(9)
ψⅡ=Ae-ikx+Reikx
(10)
(11)
ψⅠ=Te-ik′x
(12)
(13)
反射系數為
(14)
仔細觀察，上述結果式(14)與粒子從左側入射的結果式(8)完全相同．這個結果是不是令人感到驚奇？
可能很多同學在求解1.2問題之前,會想當然地認為,從左側入射的情況反射系數應該大于從右側入射的反射系數．這實際上是一個宏觀的印象——人在行走中上下臺階的困難程度是不同的．而實際上嚴格的求解告訴我們,在量子的范疇,階梯勢對粒子的反射幾率是同一的,不論粒子從哪一側入射．這一結果恰恰體現了量子世界的與眾不同．通過對這個題目的詳細求解應該會讓同學們對量子力學這門課程的獨特之處有一個更直接的體會．
2 高于零點的階梯勢 且粒子能量E細心的同學會注意到,我們在解決上面問題時要求粒子的能量E>V0,那么如果粒子能量不滿足這個條件,其結果又會怎樣呢?我們假設粒子從左側入射,V0>E>0,薛定諤方程可以寫為
(15)
ψⅠ=Aeikx+Re-ikx
(16)
(17)
ψⅡ=Te-k′x
(18)
零點處連續,所以
解得
反射系數為1．
3 低于零點的階梯勢
我們還看到很多習題中的一維階梯勢是這么給出的
(19)
如圖2所示.
圖2 低于零點的一維階梯勢分布
假設粒子(能量E>0)仍然從左側入射,求透射系數和反射系數．
(20)
ψⅠ=Aeikx+Re-ikx
(21)
(22)
ψⅡ=Teik′x
(23)
所以連續性條件給出
反射系數為
(24)
如果V0=βE(0<β<1)，反射系數即為
(25)
當β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢高度)，反射系數趨近于零,粒子完全通過；E≈0時(相當于β→∞)，反射系數趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側區域(Ⅱ)．實際上，當能量E<0，粒子都將被完全反射，情況與2中的例子相同．
有的同學可能會對這一結果產生疑問．坐標的選擇完全是人為的呀，為什么我們把坐標軸向上移動了V0而已，反射系數的表達式就有所不同了．粒子能量與勢的關系均為V0=βE，其散射結果難道不應該是相同的嗎？這里可能大家忽略了一個細節——考慮兩種不同情況下粒子以相同能量E入射：從經典的觀點考慮，當階梯勢高于零點，粒子的動能在x>0的區域為E-V0，而在x<0的區域為E；而當階梯勢與零點平齊，粒子的動能在x>0的區域為E，在x<0的區域為E-(-V0)=E+V0．也就是說以相同能量入射的粒子，在這兩種勢分布下，在x>0的區域其動能分別為E-V0和E，在x<0的區域，其動能分別為E和E+V0．所以，從能量零點選取的角度考慮，一種情況下入射能量為E對應另一種情況下入射能量為E-V0的情況．當入射粒子能量與階梯勢的相對關系一致時，所得的結果才會相同．
由一道簡單的一維階梯勢的問題，我們竟然可以得到這么多有趣的結果．這也啟發我們對很多《量子力學》中的問題需要舉一反三．我們傳統的課堂講授內容可能更偏向于橫向的比較，比如一維無限深勢阱、一維有限深勢阱、一維諧振子……而對問題的縱向延伸做得不夠．這樣做的結果是，同學們對老師課堂講的例題能聽懂，但是自己做習題就完全無從下手．此文中這樣的舉一反三既可以增加一點課程的趣味性，也能夠激勵學生思考，對學過的內容提出新的問題，這就是培養學生研究能力的一個有益模式．
IssueofOneDimensionalStaircasePotentialWorthyofInferingOtherThingsfromOneFact
Lu AijiangYang Qinyu
(Science College,Donghua University,Shanghai201620)
Abstract:Based on the quantum mechanics problem with one dimensional (1D) step-like potential, many an interesting results have been obtained.The moving directions of the injected particles and the position of the step-like potential are attributed to the main facets of this problem.It is a good exercise about 1D stationary state,and is a typical problem to show the specialty of quantum mechanics.
Keywords:step-like potential；potential function；transmission coefficient；reflectance
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如圖2所示.
圖2 低于零點的一維階梯勢分布
假設粒子(能量E>0)仍然從左側入射,求透射系數和反射系數．
(20)
ψⅠ=Aeikx+Re-ikx
(21)
(22)
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由一道簡單的一維階梯勢的問題，我們竟然可以得到這么多有趣的結果．這也啟發我們對很多《量子力學》中的問題需要舉一反三．我們傳統的課堂講授內容可能更偏向于橫向的比較，比如一維無限深勢阱、一維有限深勢阱、一維諧振子……而對問題的縱向延伸做得不夠．這樣做的結果是，同學們對老師課堂講的例題能聽懂，但是自己做習題就完全無從下手．此文中這樣的舉一反三既可以增加一點課程的趣味性，也能夠激勵學生思考，對學過的內容提出新的問題，這就是培養學生研究能力的一個有益模式．
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