“心有靈犀一點通”“心有靈犀一點通”
——淺談高中數學解題中常用的四大數學思想

◎趙艷芳

(安徽省淮南第一中學，安徽　淮南　232001)

當前，很多高中生在解數學題時，思維非常機械，能動性低，缺乏數學思想與數學思維，雖然平時花了很多時間，但是由于效率過低，往往達不到預期的效果.究其原因，是因為這些高中生在解題時沒有形成系統的數學思想，思維模式僵化，解題時思維過于狹窄，往往是為了做題而做題，不能觸類旁通，舉一反三.因此，在學習高中數學時，數學思想的靈活運用非常重要.高中數學教師在課堂教學時應注重培養學生的數學思想與數學思維.

一、數形結合思想

數學是非常重要的基礎學科.數學的主要功能就是用來刻畫我們現實生活中事物之間的數量關系以及空間分布形式，也就是所謂的“數”與“形”，而且“數”與“形”之間不是孤立的，而是相互聯系，相輔相成，有密切的關系.在數學解題中，如果能夠將“數”與“形”兩者有效結合起來，往往可以讓人眼前一亮，茅塞頓開，顯著降低解題的難度，大大提高解題的效率.下面我們以例1簡單地介紹一下數形結合思想的運用.

從例1的解題過程可以充分表明，數與形之間存在著密切的聯系，很多代數問題若能轉化成圖形，則思路和方法可以從圖形中直觀地顯示出來.通過觀察數與形之間的關系，非常直觀，一目了然，很快會找到解題方法.

二、函數與方程思想

跟數形結合思想一樣，函數與方程思想也是高中數學解題中的一大重要數學思想，這種思想在歷年的高考試題中也都有體現.這種思想的精髓在于，利用函數分析數學中的數量關系，結合函數的圖像與性質去分析解決問題；再通過構造方程，運用方程的性質轉化問題，分析問題，最終解決問題，體現了函數思想與方程的思想的珠聯璧合，展現了函數與方程之間的密切關系.在高中數學解題中，有很多函數問題可以通過轉化為方程來求解，而很多方程問題同樣也可以通過轉化為函數來求解.下面的例子就體現了這種思想.

原題轉化為：m(x-2)+(x-2)2>0恒成立，為m的一次函數(這里思維的轉化很重要).

當x=2時，不等式不成立.

函數與方程思想利用函數、方程的觀點和方法處理變量或未知數之間的關系，從而獲得解題方法的一種思維方式，是一種很重要的數學思想.利用該思想來解決一些比較復雜的問題時，往往會使人有一種“撥開云霧見太陽”的感覺，事半功倍.

三、分類討論思想

分類討論的思想在高中數學解題中也得到了廣泛的運用，它指的是在解題時必須要考慮到研究對象的性質差異，要根據不同的情況將研究對象分類分析，從而最終解決問題.分類討論思想根據數學研究對象的“物以類聚”這一特點，在解題時，要依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象劃分為不同種類分別進行研究和求解，本質上是一種化整為零、化繁為簡、分別對待、各個擊破的思維策略在數學解題中的應用.

解析∵a2+b2=1，∴a2=1-b2，b2=1-a2.

∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0.

(1)當a>0，b>0時，

=a|a|+b|b|=a2+b2=1.

(2)當a<0，b<0時，

原式=a|a|+b|b|=-a2-b2=-1.

即原式的值為1或-1.

從上面的例題我們可以看到，分類討論思想根據數學研究對象的性質差異，分各種不同的情況來分析解決問題，具有較強的邏輯性和很強的綜合性，所以，在使用分類討論思想解題的時候，應該注重理解和掌握分類的原則、方法和技巧，力求做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏的分析討論.”

以上三種數學思想可以說是高中數學解題中的最重要的幾種思想.教師應該加強滲透這幾種數學思想的教學，指導學生對這些進行反復的學習、思考、領悟.數學思想把千絲萬縷的數學知識編織在一起，真正領悟這些數學思想也需要一個過程，在此期間教師應該積極的引導學生，培養學生的創造性思維，避免學生機械的模仿和生搬硬套，應該鼓勵學生能動的、創造性的進行學習，領悟數學思想的精髓，在解題時真正能夠達到“心有靈犀一點通”.