含鉸柔性結構的非線性模態分析

曹芝腑 費慶國 姜東

摘要： 建立了含鉸柔性結構的非線性動力學模型，利用打靶法和偽弧長法計算該結構的非線性模態和頻率-能量關系圖，研究含鉸柔性結構的非線性特性。其次，考慮非線性鉸鏈剛度對結構動態特性的影響，討論了不同線性/非線性剛度與結構的非線性模態及頻率-能量曲線的關系。利用非線性三自由度保守系統的模態分析，闡釋頻率-能量曲線能夠直觀反映結構的非線性特性：固有頻率變化及分叉、模態轉換及內共振。對含鉸柔性結構的非線性模態分析及參數影響研究表明：1） 含鉸柔性結構的固有頻率與輸入能量存在明顯非線性特性；2） 鉸鏈非線性剛度的增加，使得含鉸柔性結構的固有頻率和模態在較低的振動能量下即可發生較大變化；其次，隨著線性剛度的增加，非線性特性減弱，各階固有頻率的相對變化降低，頻率-能量關系圖由曲線變為直線；3） 較高的振動能量在結構模態之間發生轉換，使得結構出現明顯的內共振非線性特性。

關鍵詞： 柔性結構； 非線性鉸鏈； 非線性模態； 頻能圖； 內共振

中圖分類號： O313.7； O322文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0573-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.004

引言

航天工程中的太陽翼、伸展臂等結構一般由鉸鏈將其彈性構件連接為整體。鉸接航天器具有尺寸大，剛度低、柔性高的特點，如美國AEC-Able公司研制的FAST（Folding articulated square Mast）伸展臂結構[1]，含有260個鉸鏈，展開鎖定后其支撐臂總長為32.92 m。鉸鏈間隙、接觸摩擦導致連接處存在明顯非線性，影響結構的動力學特性，采用線性方法的分析結果存在較大誤差，甚至會導致錯誤的定性分析。研究含鉸柔性結構的非線性動態分析方法，可獲得更加準確的結構動響應，為其動力學設計提供參考。

對于線性系統，利用線性模態的疊加性原理可以對系統進行特性分析及響應計算。在線性模態理論基礎上，Rosenberg[2-3]提出以“一致振動（Vibrations in unison）”定義非線性模態（NNM： nonlinear normal mode），并將其分為相似模態（Similar mode）和非相似模態（Nonsimilar mode），用以研究離散、無阻尼、保守非線性系統的振動問題。Shaw和Pierre[4-5]提出了更為廣義的非線性模態定義，認為非線性模態是系統相空間中二維不變流形上的運動。陳予恕等[6]將Shaw-Pierre非線性模態的概念進行了推廣，認為非線性模態為模態空間中偶數維不變流形上的運動，并根據模態空間的動力學方程，將非線性模態分為：非耦合模態、耦合模態和內共振模態。并對Rosenberg，Shaw-Pierre和陳-吳定義下的非線性模態進行了比較。Mikhlin和Avramov[7-8]系統地綜述了Kauderer-Rosenber和Shaw-Pierre定義下的非線性模態的概念、構造方法及相關應用。

非線性模態的構造主要基于漸近法[9]，通過不同類型的級數展開對非線性響應進行描述，從而求解各非線性結構的非線性模態，但非線性模態的解析方法難以應用于復雜的實際結構，需利用數值計算的方法求解各類非線性結構的非線性模態。Slater[10]首先提出利用數值積分的方法，直接求解非線性結構動力學控制方程的周期解，但其缺點是模態分叉現象的缺失并且難以證明模態流形的不變性。Peeters等[11]結合打靶法和偽弧長法，提出了更為高效和穩定的非線性模態求解方法，并將該方法應用于飛機結構的非線性模態分析[12]。Kuether等[13]則提出利用幾何非線性有限元模型的線性模態解集作為周期解的初始條件，從而避免打靶法中數值積分所引起的計算效率低下的問題。Renson等[14]基于流線迎風Petrov-Galerkin的有限元算法，通過移動網格和計算域的預測-校正技術，實現了不變流形上的非線性模態數值計算。非線性模態理論及數值解的發展，為實際工程結構的非線性模態分析奠定了基礎。Blanc等[15]則基于中心流形方法，在流形連續性條件下求解保守系統的非線性模態，并提出了具有精確數值結果的非線性降階模型構造方法。

針對含鉸柔性結構的非線性動力學建模及分析，胡海巖等[16]指出，大型空間結構展開鎖定后的非線性動力學分析要用以揭示結構柔性、運動副間隙等非線性因素所引起非線性振動的機理。Guo[17-18]等針對空間可展開結構，開展了鉸鏈的非線性動力學建模方法的研究。Sarkar等[19]則利用傅里葉-伽遼金算法對非線性鉸鏈懸臂梁結構的非線性動力學現象進行了分析。王巍等[20]利用中心不變流形非線性模態，對非線性梁系統動力學方程進行解耦，分析了各階非線性模態的動力學特性。吳爽等[21]通過動力測試獲得真實太陽翼板間鉸鏈結構的動力學參數，利用實驗響應驗證了所建立的非線性動力學分析模型。

本文以含鉸柔性結構作為主要研究對象，通過將鉸鏈簡化為具有局部非線性特性的多自由度系統，建立其非線性動力學分析模型，然后利用打靶法和偽弧長數值方法對其進行非線性模態分析，計算結構的頻率-能量關系圖和非線性模態。在此基礎上，進一步考慮鉸鏈線性剛度和非線性剛度的變化，分析鉸鏈剛度對該結構非線性動力特性的影響。

1非線性模態理論

多自由度保守系統自由振動的運動控制方程為M+Kx+fnl=0（1）式中M和K分別表示結構的質量矩陣和剛度矩陣，x和分別表示結構物理坐標系下的位移和加速度向量，fnl表示非線性恢復力向量。根據Rosenberg理論的定義，其非線性模態是這樣一種運動：（1）所有質點運動周期一致；（2）所有質點同時通過平衡位置；（3）所有質點同時達到位移最大。則所有質點xi的位置都可以用任一質點的位置確定xi=Xix0（2）則非線性模態可以分為相似模態xi=cix0 （ci為實常數，i=1，2，…，N）和非相似模態xi=Xi（x0） （i=1，2，…，N）。根據Rosenberg理論的定義，相似模態為直線，非相似模態為曲線。但Rosenberg定義下的非線性模態構造十分嚴苛，導致其難以延伸應用于非保守系統，以及在內共振情況下失效。在Rosenberg模態理論的基礎上，推廣到更一般的定義，認為非線性模態是非線性保守系統的周期運動。

從圖2（a）可以看出，該系統第1階模態存在顯著非線性特性，且非線性結構的頻率-能量關系依賴于非線性系統的動態特性，頻能圖是非線性模態分析的一種有效表達形式。選取非線性特征顯著的第1階模態為例，計算在一般定義下的構型空間中x1與x2和x3之間的非線性模態曲線（x-y： x1-x2， x1-x3）如圖2（b）所示。

若圖1所示結構中不存在非線性彈簧，則得到的線性三自由度系統頻能圖如圖3所示。圖3（a）～（c）分別表示第1階、第2階和第3階模態。從圖中可以看出，對于線性系統，其頻率-能量關系呈線性關系，即結構模態頻率不會隨著振動能量的變化而變化，與之相反，非線性系統的頻能圖則呈明顯非線性關系。如圖4所示，在區域A和區域B內出現頻率拐點，結構的振動頻率取值不定，這些不定取值均具有臨界性質。在同一振動能量水平下，結構的振動頻率會發生突變，這些不定點均為頻率分叉點。

為了驗證方法的準確性，針對如圖1所示的三自由度非線性結構，利用Nastran與該方法進行比較。圖4所示為第1階非線性模態的頻能曲線對比圖，圖中圓點代表Nastran計算結果。選取圖4中I～IV點對應的初始條件，計算非線性瞬態響應，比較結果如圖5所示，本文所用方法與Nastran計算結果誤差較小，具有較高準確性。

3 含鉸柔性結構非線性模態分析

含鉸柔性結構可以簡化為鉸鏈與柔性彈性結構連接在一起的非線性組合結構，具有局部非線性特性。下面介紹非線性鉸鏈的建模方法及其非線性模態分析結果。

3.1 非線性鉸建模

從圖13（a）可以看出，線性剛度系數保持不變時，隨著非線性剛度系數的增加，在較低的能量水平下即可出現明顯的非線性特性：頻率變化、模態轉化和內共振，如圖13（a）中箭頭所示。由于非線性剛度系數僅影響非線性恢復力的變化，對該結構所對應的潛在線性結構矩陣影響較小，故其初始模態頻率不變。

結構的非線性剛度系數保持不變時，隨著線性剛度系數的增加，線性結構的剛度矩陣也會隨之增加，使得結構的初始模態頻率增加。同時，隨著線性剛度的增加，結構的非線性特性減弱，頻率變化減小，頻能圖由曲線變為直線（圖13（b））。

4 結 論

本文利用非線性模態理論，研究了含鉸柔性結構非線性模態分析方法。

根據頻率-能量關系圖，可以反映含鉸柔性結構的固有頻率與能量水平的變化關系，以及內共振等非線性特性。由于鉸鏈剛度的非線性特性，結構的固有頻率與激勵能量呈現明顯的非線性關系。其次，含鉸柔性結構的高階非線性模態在振動能量水平較高時，由于能量在模態內的交換，使得當前模態與高階模態耦合，產生區別于線性結構的內共振現象。

鉸鏈的線性剛度影響潛在線性結構的剛度矩陣，從而使得結構的固有頻率隨著線性剛度的增加而提高。當線性特性增強時，由于非線性影響的減弱，頻能圖會由曲線變為直線，固有頻率值無明顯改變。其次，鉸鏈的非線性剛度影響結構的頻率變化和模態轉換等非線性特性的顯現條件。通過增加結構的非線性剛度，可以在較低激勵水平下，較快出現頻率變化和模態轉換等非線性現象，為后續的非線性模態實驗驗證奠定基礎。

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Abstract： Based on the nonlinear dynamic model of the flexible assembled structure with a nonlinear hinge， shooting method and pseudo-arc length continuation approach were applied to nonlinear normal mode construction and frequency-energy plot calculation.In order to further understand the effect of the stiffness of nonlinear hinge on the dynamic characteristic， the nonlinear normal modes and frequency-energy plots （FEP） with different linear and nonlinear stiffness were implemented. The modal analysis for the nonlinear conservative three degrees of freedom system illustrated that the frequency-energy plot could represent the dynamic characteristic clearly： bifurcation and change of natural frequencies， internal resonance and transition of modes. Results from nonlinear hinge flexible structure examples were： 1） Obvious nonlinear relationship exists between natural frequencies and input vibrating energies for the flexible structure with hinges. 2） With the increase of nonlinear stiffness， the natural frequencies and modes will change quickly under low vibrating energy level； On the other hand， with the linear stiffness increasing， the nonlinear characteristics and the relative change of resonance frequencies decreased and the FEP will be straight instead of curvilinear. 3） The higher vibrating energy will transform between structural modes， and the structure will show the internal resonance obviously.

Key words： flexible structure； nonlinear hinge； nonlinear normal modes； frequency-energy plot； internal resonance