利用核函數和不同正則化方法的結構載荷識別混合技術研究

繆炳榮 周鳳 陳翔宇

摘要： 提出一種基于核函數和不同正則化方法進行載荷識別技術研究，以提高識別精度。首先，根據結構系統的逆問題理論和Green核函數方法建立動力學方程；其次，采用正則化技術，如Tikhonov方法、截斷奇異值分解（TSVD）方法、LSQR方法等，通過混合方法增加虛擬邊界約束條件對不適定性問題求解；最后，結合實際算例和利用混合方法進行載荷識別的數值計算與試驗驗證。結果表明：混合方法中利用GCV曲線選擇最優的正則化參數值，通過Tikhonov結合LSQR方法進行正則化的求解，得到的載荷識別的結果最好。盡管預測數據存在一定的分散性誤差，但是識別能力良好、總體誤差較小、相關性系數較大?；贕reen函數和正則化技術的載荷識別混合方法可以有效地應用到工程實際研究。

關鍵詞： 載荷識別； 結構動力學； 逆問題； 正則化方法；有限元法

中圖分類號： O347.1文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0553-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.002

引言

在多數工程技術問題中，結構載荷識別問題可以理解為如何準確求解結構動力學的病態方程[12]。這就需要考慮合理選擇結構動力學第二類逆問題的求解技術，常用的一種方法就是正則化方法[34]。國內外學者對如何利用正則化方法求解結構動力學逆問題已經做了大量研究，取得了不少成果[57]。

H G Choi等在載荷識別過程的Tikhonov正則化方法中引入閾值，考慮了振動響應誤差放大的影響，且根據矩陣條件數進行預測精度判斷 [8] 。Fergyanto E等利用B樣條函數逼近沖擊載荷，采用Tikhonov正則化，L曲線方法確定正則化參數[9]。Wang等提出了一種改進的迭代正則化方法來解決線性逆問題，通過Morozov偏差原理確定正則化參數[10]。肖悅等對含噪信號基于奇異熵的去噪處理方法，同時利用正則化方法對共軛梯度迭代算法進行預優，提高逆問題求解中輸入數據的精度和改善其非適定性[11]。盧立勤等提出共軛梯度最小二乘迭代正則化算法和啟發式迭代收斂終止準則，該方法在載荷識別過程中不需要對傳遞矩陣求逆和明確正則化參數的優點，但響應數據誤差對正則化算法的迭代步數和收斂速度影響較大 [12]。You Jia等對于隨機載荷識別中的誤差影響和不適定問題，提出基于適當正交分解的加權正則化方法，并通過廣義交叉驗證方法（簡稱GCV方法）選取正則化參數[13]。Baijie Qiao 等研究了一種基于函數系數向量范數最小化的一般稀疏正則化方法，通過可分離近似的稀疏重構，解決力識別的稀疏正則化問題[14]。M Aucejo和O De Smet構建乘法正則化，以迭代的方式計算正則化解，求解過程中不需要預先定義正則化參數[15]。Gang Yan等在重建沖擊力時間歷程時，采用基于Bayesian推導的正則化問題的逆問題分析方法，用狀態空間模型來解決影響力重構的問題[16]。Zhen Chen 和Tommy H T Chan 針對移動載荷識別過程中的病態問題，采用截斷廣義奇異值分解方法尋求不適定方程的解 [17] 。

為了能夠迅速提高結構動載荷識別結果的準確性，在眾多文獻的研究基礎上，本文提出一種基于核函數和正則化的混合方法進行載荷識別技術研究，以提高識別精度。這種方法主要是基于結構振動響應的載荷識別技術的混合計算方法，通過比較結構載荷識別技術的幾種典型方法，以及L曲線和GCV曲線的正則化參數選取準則的研究，提出一種混合識別方法，且將仿真與試驗結果結合起來進行比較性研究，以期望提高結構載荷識別的精度。

1理論背景1.1基于Green核函數建立正問題考慮線性動態系統的載荷識別問題，假設系統對單位沖擊載荷δ（t）的響應，即由載荷作用點到響應測量點的Green函數為z（t）。根據疊加原理，激勵和系統響應之間表示為如下卷積形式z（t）=∫t0H（t-τ）f（τ）dτ（1）式中H（t-τ）表示結構脈沖響應的Green核函數，z（t）表示系統的動態響應，響應數據可以是應力應變、位移、速度和加速度等。

FM（5）式中M和N分別表示載荷點和響應測量點的數目，且需要保證N≥M，能夠滿足方程正定的或者超正定的條件。方程（5）表示多輸入多輸出系統的線性離散方程模型。

1.2正則化方法

求解結構動力學方程不適定問題的方法主要是根據與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解。如何建立有效的正則化方法是求解動力學逆問題中不適定問題的重要內容。正則化理論（Regularization Theory）主要用于線性代數理論中求解具有很大條件數的不適定性的逆問題。正則化理論主要目的是提供有效穩定的數值分析方法，包括能夠產生穩定的解與合適的邊界約束。在已知邊界約束情況下，通過選擇最優的正則化參數，保證其對未知解的良好近似。通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov方法、截斷奇異值分解（TSVD）方法、LSQR方法和各種迭代方法以及其他一些改進算法。這里對一些典型的正則化方法做簡單介紹。

1.2.1Tikhonov方法

Tikhonov正則化的動態載荷識別方法主要步驟包括：建立離散線性系統的方程；Tikhonov正則化方法的求解；選取最優的正則化參數。Tikhonov正則化方法可以考慮為優化問題minf∈RnHf-z22+α2f22（6）式中·22表示向量2范數的平方。α（α>0）為正則化參數，是一個常數，主要控制殘差范數Hf-z22和解的范數f22之間的相對大小。為了更好地獲得近似真實解，α的值應該越小越好，但是考慮到數值穩定性，α的值應該越大越好，這就需要優化地選擇該參數。方程（6）目標函數的準確形式為fTHTH+α2If-2zTHf+zTz（7）根據目標函數的梯度等于零的概念，方程（7）的最小二乘解為HTH+α2If=HTz（8）根據方程（8）推導載荷的表示形式f=HTH+α2I-1HTz（9）式中I記作單位矩陣，HTH+α2I-1HT稱為正則化算子。

1.2.2截斷奇異值分解（TSVD）方法

對待病態矩陣的方法是利用秩虧的系數矩陣推導新的問題。秩虧的矩陣H的秩最接近k的近似矩陣Hk，Hk為Hk=∑ki=1uiσivTi， k≤n（10）截斷奇異值分解（TSVD）方法是用來求解最優化問題minHkf-z2（11）式中Hk 表示秩為k的H矩陣。

這個問題的解還可以寫為fk=∑ni=1uTiz〖〗σivi（12）TSVD的解fk是矩陣H在數值零空間上唯一沒有分量的正則化解。該方法是將所得的廣義解公式的右端進行截斷，僅保留了前k個對應的具有較大奇異值的部分，過濾較小的奇異值，避免過渡放大擾動誤差。但是為了提高識別的準確性，需要盡量地將值k取得大一些。但是該方法對數據本身有一定的限制，實際中很難達到要求。

1.2.3LSQR方法

LSQR方法是一種特別適合求解大型、稀疏矩陣線性方程的方法。其將任意稀疏矩陣方程轉化為系數矩陣為方陣的方程，然后利用Lanczos對角化算法建立較低的對角矩陣，求解方程的最小二乘解。由于求解過程中采用QR因子分解法，這種方法稱為LSQR方法。LSQR方法可以表示為minfHf-z（13）考慮線性系統及其最小二乘問題，假設矩陣H沒有精確的零奇異值。利用奇異值分解，系統的解為fLSQ=∑ni=1uTizσivi（14）與較小的奇異值σi相關的傅里葉系數uTiz沒有像奇異值一樣衰減得很快，但是逐漸趨于穩定，解fLSQ是由與最小的σi相關項的和決定的。

當運用在不適定性問題中時，LSQR方法表現出“半收斂特性”。正則化過程中最近一次的迭代重建的是關于解的信息，其次，迭代重建的主要是噪聲信息。當誤差達到最小時，迭代計算結束，獲得正則化的解。雖然在實際中經常不知道準確解，相對誤差的圖形也不能找到最優的迭代結束的點，但是，通過這種正則化參數選擇的方法可以有效地預測迭代結束的點。

1.3正則化參數選取方法

對于大多數結構動力學方程的病態問題求解，均需要進行正則化處理，為此必須考慮正則化參數的最優選取原則。很多學者已經研究了大量的正則化參數選取方法[718]，例如L曲線準則、廣義交叉驗證法（GCV）準則、擬最優準則、Morozov偏差準則、啟發式準則等。其中L曲線準則和廣義交叉驗證方法（GCV）相比于其他的一些方法得到了廣泛的應用。好的正則化參數會在擾動誤差和正則化誤差之間有一個較好的平衡。這里主要介紹L曲線準則和GCV曲線準則選取最優正則化參數的方法。

1.3.1L曲線準則

在選取正則化最優參數的過程中，常用一種圖形化工具進行正則化參數的確定，即L曲線準則。該準則主要是對于所有的正則化參數，采用對數尺度下的正則化解的范數Lfreg2和相應的殘差范數Hfreg-z2之間的圖形作為依據。由于通過正則化參數確定的參數化曲線像“L”形狀，又稱為L曲線準則。這種方法中，L曲線有效地權衡了正則化解和殘差范數之間的最小值。同時正則化參數變化時殘差范數和解的范數隨之變化的情況。L曲線準則如圖1所示。

在L曲線的拐點上（L曲線曲率最大處），解的范數和殘差范數能夠獲得很好的平衡。此時的正則化參數為最優的正則化參數。L曲線準則確定的最優參數點主要位于曲線的拐點處。L曲線準則選擇最優的α參數作為曲線上具有最大曲率的參數值。該曲線上的點的坐標可以寫為lgHf-z，lgF=ζα，ζα（15）1.3.2GCV曲線準則

廣義交叉驗證（GCV，Generalized Cross Validation）的思路是基于統計學觀點，利用最佳的參數預測任何一個新的數據，并用其他數據點來建立模型。實際上就是尋求擾動誤差和正則化誤差之間的一個平衡，也就是產生合理的曲線拐點。GCV曲線準則的缺點是在接近最小值的時候，函數曲線非常平緩，不容易找到GCV函數的最小值。選擇正則化參數確定最小化的GCV函數G≡Hfreg-z22traceIm-HHI2（16）可以進一步表示為Gk=∑Ni=1uTizσ2i+k22∑Ni=11σ2i+k22（17）式中HI表示的是當與z相乘（也就是freg=HIz）產生的正則化解freg的一個矩陣，k表示正則化參數。G參數定義為連續的和離散的正則化參數。GCV曲線準則如圖2所示。

2載荷識別混合計算方法

為了研究一種新的結構載荷識別的混合方法以提高載荷識別精度，這里針對正則化方法的幾種典型方法：Tikhonov方法、截斷奇異值分解（TSVD）方法、LSQR方法以及不同的參數選取原則進行了不同識別方法組合與載荷識別精度的技術研究?；旌献R別研究方法中主要通過確定正則化算子，針對不同的載荷類型采用合理的正則化參數確定最優的參數值，包括L曲線方法和GCV方法，增加求解的條件進而求解外部輸入的動態載荷。

混合載荷識別方法的研究步驟包括：

（1）通過Green函數法結合Duhamel卷積積分方程建立實際的機械結構載荷識別的正問題模型。

（2）建立結構有限元模型進行計算與試驗模態分析，確定模態參數，和對有限元模型進行模態修正。

（3）比較不同的正則化方法的組合和參數選取原則，結合仿真與實測的結構振動響應，且根據不同的載荷類型（載荷幅值、頻率、位置和傳感器或應變片的布置數量等）進行混合載荷識別技術研究。

（4）由于實測的結構振動響應數據存在噪聲，且結構系統響應矩陣的病態特性，需要結合動力學的逆問題理論，利用正則化方法解決問題的不適定性。其中，最優的正則化參數α或者k的選取，主要是利用L曲線準則或者廣義交叉驗證（GCV）方法等確定，并進行正則化計算，以有效識別結構載荷。

利用混合識別方法進行結構載荷識別的技術路線如圖3所示。

3算例

3.1數值建模仿真與分析算例中，建立長為1 m的懸臂梁結構的有限元模型，材料彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，密度為2700 kg/m3，結構阻尼為比例阻尼。該模型由12個節點，11個單元組成。在7號和11號節點處施加2個動態載荷，取動態響應的測量位置為6號節點和10號節點。標記112表示節點編號，①表示單元編號。梁結構的邊界條件為：一端為固定約束，另一端為自由約束。在垂直于梁結構的z方向施加動態載荷F1（t）和垂直于梁結構的y方向施加動態載荷F2（t），如圖4所示。其中，R1和R2分別表示振動響應的測點，箭頭表示了載荷位置。

下面分別針對正則化技術和不同正則化參數選取方法進行比較性研究，以便尋找合適的載荷識別方法。

3.1.1Tikhonov+L曲線方法

以L曲線準則選擇最優的正則化參數值，利用Tikhonov方法進行正則化求解，獲得載荷時間歷程結果如圖5所示。

通過L曲線準則選擇最優的正則化參數值，再通過Tikhonov方法結合LSQR方法進行正則化的求解，得到載荷時間歷程的結果如圖7，8所示。

3.1.3TSVD +GCV曲線方法

利用廣義交叉驗證（GCV）最優的正則化參數值，結合截斷奇異值分解法（TSVD， Truncated Singular Value Decomposition）求解，獲得載荷時間歷程的識別結果如圖9，10所示。

3.1.4TSVD+LSQR+ GCV準則

用GCV曲線選擇最優的正則化參數值，通過Tikhonov結合LSQR方法進行正則化的求解，得到載荷識別的結果如圖11，12所示。

通過4種不同的正則化方法和不同的參數選取原則進行結構載荷識別，這幾種組合方法識別的結果比較如表1所示。

較好很好從解的收斂性、曲線光滑性及載荷值在每個時間點的波動值等方面判斷，每一種方法各有優缺點，針對不同的載荷類型有不同的識別精度。Tikhonov+LSQR+L曲線方法與TSVD+LSQR+GCV曲線方法對兩類載荷的總體識別相對誤差較小，相關系數較高。這也說明混合識別方法不會隨著噪聲級別的變化而出現大的改變，適合于受外界噪聲影響較大的載荷識別，識別出的各個時間點的載荷具有較小波動性，曲線光滑性較好，且收斂性很好，準確度較高。另外，奇異值分解法（TSVD）對于原病態核函數的小奇異值進行截斷，截斷后的矩陣趨于良性，對于實際噪聲干擾放大作用的處理比較明顯，對正弦或三角函數載荷的識別效果和混合法相差不大，也能保持一定的精度。綜合而言，這也說明單一方法在識別過程中比混合方法的識別精度要差一些。

3.2試驗驗證

試驗對象為與數值仿真模型同類型的梁結構，且對梁結構進行模態實驗測試。利用DH9522動態信號測試分析系統獲取結構的前4階固有頻率，模態振型及其阻尼比。根據試驗數據進行有限元模型的模態修正[1819]。實驗所使用的主要設備如表2所示。

利用混合識別方法獲得的載荷時間歷程與實驗測得的數據吻合度較好。限于篇幅識別數據不在這里一一列出。盡管部分數據的識別結果中由于奇異值對于實際噪聲干擾的放大作用比較明顯，存在一定的誤差，但是總體來說混合方法能夠在一定程度上有效地識別實際結構所承受的載荷。

4結論

針對現有的載荷識別技術在軌道車輛工程的基礎研究和工程應用中存在著識別算法不完善和精度不足的技術問題，本文通過研究幾種典型的正則化方法和參數的不同選取原則的組合進行了載荷識別的混合識別技術研究，并結合試驗結果對結構載荷識別精度影響的差異性進行了對比分析。研究結果表明：針對不同的載荷類型進行載荷識別方法的選擇比較重要，尤其幾種載荷識別方法的組合可以有效地進行結構的載荷識別，降低當前由于識別精度不足導致工程應用遇到的技術難題。對于未來將載荷識別技術應用在軌道車輛關鍵結構部件的結構健康監控中具有重要的工程應用價值。

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Abstract： The complexity and nonlinearity of the actual structure can lead to the serious illpositivity of the system response matrix，which have a great influence on the prediction accuracy of the load recognition results. In this paper， a hybrid identification method based on kernel function and different regularization method is proposed to improve the recognition accuracy. Firstly， the structure kinetic equation is established according to the inverse problem theory of structural system and the Green kernel function. Secondly， regularization techniques such as Tikhonov method， truncated singular value decomposition （TSVD） method and LSQR method， are used to add the virtual boundary constraint conditions to solve the problem of uncertainty through hybrid method. Finally， the numerical calculation and experimental verification of load identification are performed. The results show that the best load identification results is obtained by the hybrid method in which the GCV curve is used to choose the optimal regularization parameters and the Tikhonov method combined with LSQR method is used to obtained regularized solution. Although there exists some dispersion error in prediction data， the recognition ability is good， the overall error is relative small， the correlation coefficient is slightly larger. This hybrid load recognition method based on Green function and regularization hybrid method can be effectively applied to engineering.

Key words： load identification； structural dynamics； inverse problem； regularization method； finite element method