探析數學解題中無處不在的導數

鄧澤宇

在高中數學的學習中，筆者發現導數具有化繁為簡的神奇作用，可快速解決多種復雜的數學問題，其也是高考重點考核內容之一。本文基于對導數概念的理解，分析導數在函數問題、不等式、線切和幾何等問題的具體應用，希望能給廣大讀者提供一些新的解題思路。

導數在高中數學的學習中有重要位置，在多種題型中都可以應用。作為高中生的我們往往因為對公式記憶不敏感、無法準確理解習題中的信息點而導致解題過程中出現困難。為更好的發揮導數的解題價值，我們需要對其定義與概念進行深入理解，從而分析其在各種習題中的運用方式。

一、對導數的理解

導數作為數學微積分的基礎內容，在相關計算過程中，自變量的增加或趨向為零時，因變量本身的增量為自變量增量之間的極限值。若一個函數中有導數的存在時，可以稱其為可導或可微分，導數存在的函數一定是具有連續性的，同樣如果不具有連續性的函數絕對是不可導函數。導數的本質就是求極限值的過程，而導數的四則運算法則，大多數來自于極限值的運算規律。高中階段如果熟練掌握導數相關知識點，會在很多數學問題起到推進作用，尤其是解決曲線方程或函數等一類的問題，效果更是十分顯著。

二、導數在函數問題中的運用

（一）單調性的判斷

合理的運用導數，其方法本身就能夠提高判斷函數單調性與值域的效率。在判斷函數單調性的日勺候，可以通過利用導數來進行處理，利用導數符號來對函數增加或減弱進行評判，這也是奧數里結合相關意義來研究曲線變化規律時其中一種方式?；谶@一角度來說，它可以對數形結合本身的概念與思想進行充分表達。在判斷函數單數性的時候，比較常用的方法是“定義法”。例如：求f（x）=X3-3x函數的單調性與單調區間。通過分析，首先對函數f（x）求導，并得出不等式f（x）>0以及f（x）<0的解，f（x）>0的解為增區間，而f（x）<0的解為減區間。根據對函數定義的理解，并根據上述分析可知f（X）=x3-3x得f（x）=3x-3=3（x+1）（x-1），由此可得出上述函數單調增區間是（-∞，-1）以及（1，+∞），以此得出-10，則在區間中函數f（x）為單調遞增，其切點斜率增大函數呈現上升趨勢。若在（a，b）內，f（x）<0，則該函數單調遞減，故f（x）=0有極大值或極小值。

（二）最值與極值的區分

在導數的應用時，最值也是常用問題，其作為高中數學內容中的關鍵難點，在解決該問題時常常需要多種技能，結合對應合理的解題方式。而利用導數解決最值問題時，可將繁瑣的解題步驟逐步簡化，使解題過程更加清晰明確，有利于我們對于知識點掌握。

例如：求函數f（x）=x2-x+1在區間[-3，0]上的最值，運用導數計算可知函數y=x2-x+1，y=2x-1，令y=0，所以x=1/2，f（-3）=13，f（1/2）=3/4，f（0）=1，得出在區間內最大值為13，最小值為3/4。

例2：函數y=f（x）在區間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f（X）是否等于零，由題可知M=m，所以y=f（x）是常數函數，得出f（X）=0。

在相關內容學習時，有部分同學會對相似的數學概念有所混淆。例如：平均與瞬間兩手凌化率，有同學常常以為函數在其中一點的導數值就是瞬間速率，而在函數問題中，極值與最值的概念也常常分不清，將最值當做極值，忽略其區間的限制，從而導致解題的失敗。如果f（x）在[a，b]中最值時從（a，b）中可取，則最值就是極值，但是最值也可能在[a，b]的兩端a，b上得到。

[1]例如：函數f（x）=x4-4x（|x|<1），求是否有最值，通過導數運算得f（x）= 4x3-4=4（x-1）（x2+x+1），則f（x）=0，得x=1。又x∈（-1，1），可知該方程無解，故函數f（x）在（-1，1）上既無極值也無最值。最值與極值是不同概念，除了掌握定義，還需要強化我們的歸納推理能力，加強對公式的理解。（王明權.淺析高中導數教學[J].亞太教育，2016（03）：45.）

三、導數對于不等式與實際問題的解決

（一）利用導數求證不等式

在高中數學學習過程中，函數與不等式都是較為常見的題型，而且通過對近幾年來考試內容的分析與判斷，相關題型逐漸轉變為綜合題，兩種題型之間關系也轉變的更加密切，例如：證明不等式f（x）>g（x）時，可利用M（x）=f（x）-g（x）為輔助函數來對M（X）進行求導，以此來判斷M（x）大于0或小于0，從而對M（x）單調性進行判斷，對不等式f（x）>g（x）進行證明。通過上述案例可發現，在相應問題中可以直接通過導數方式來對不等式問題進行求證，導數求證方法通常適用于可成立于某區間的不等式。

（二）實際問題中導數的運用

在高中數學學習過程中，會遇到許多與生活有關的習題，如這道較實際的問題：某種圓柱形的飲料罐的容積一定時，如何確定它的高與底半徑，使得所用材料最節??？在解決此問題時，首先要將問題中的未知量用字母來代替，設圓柱的高為h，底面半徑為R。根據圓柱體的表面積公式s（R）=2πRh+2πR2及圓柱體積公式V=πR2h（定值），經過整理、簡化可以得出S只有一個極值，并且使最小值點，從而可知當飲料罐的高與底的直徑相等時，所用材料最節省。所以在解析此類題時，要利用數形結合技巧，按照題目考慮其圖像及所用公式，再根據題目中條件與問題之間的關系建立關系式，將文字語言轉為數學公式來求得最終結果。（張圣官.導數——高中數學的一個交匯點[J].數學教學通訊，2005（3）：28-30.）

四、導數在解題時的應用

（一）斜率問題的處理

高中學習時，導數與物理、幾何、代數等問題之間又有著密切的關系，運用導數運算可以在幾何問題中求線切，在物理學習中可以求出速度與加速度。

以切線問題為例：曲線Y=x4的一條切線q與直線x+4y-8=0垂直，求q的方程，在上述題目中，可以先設切點為P（X0，Y0），因為直線斜率，所以求得直線斜率為，又因為切線q與直線垂直，所以可知切線的斜率為4，所以Y=x4在點P（X0，Y0）處的導數為4，在令y|x-x0=4x03=4，可以得出x0=1，y0=1，再根據點斜式方程y-y0=k（x-x0），可以求出切線q的方程為4x-y-3=0。

例2：求曲線y=x3+x2+1在P（-1，1）處的切線。本題可以可知點P在曲線上，所以解出y'=3x2+2x，進而可得K=yIx=-1=3-2=1，所以可以得出切線方程為y-1=x+1，即x-y+2=0。因此只要運用導數運算得出曲線所對應的方程式。在切線問題中，導數可以簡化做題步驟，優化學習過程。

（二）生活中導數的應用

在其他領域中，導數也可以稱作紀數，不管是經濟學、幾伺學中很多問題者巨汀以利用導數來進行學習，如果想要更準確的將導數知識融合在實際問題的解決過程中，首先需要掌握導數的公式與相關概念，在高中數學學習過程中，三角函數、極值、切線等數學問題都可以通過運用導數辦法來將習題剖析，逐一梳理原本困難的步驟，將解題過程多樣化，從而提升高中數學做題效率，進而提高數學成績。在生活問題中也可以利用導數概念進行分析，從而得到解決方案。例如：常出現求利潤最大、效率最高等問題時，可稱其為優化問題或者最值問題，利用導數定義將其轉化為函數問題，進而求得函數中最值。

綜上所述，掌握導數的概念并能在習題中熟練運用可以解開很多有關函數的問題，同時對于其他方面的習題，導數同樣對其產生著非常積極的作用，如果高中階段能夠順利掌握導數相關知識點，定會在做題過程中起到事半功倍的作用。