另類雙曲線的性質及其應用

摘?要：本文分別歸納了反比例函數圖象、線性分式函數圖象、雙鉤函數圖象的特點和性質以及與標準雙曲線的關系，并利用這些特點和性質對有關的數學問題進行歸類解析.

關鍵詞：雙曲線;反比例函數;圖象平移;雙鉤函數

作者簡介：鄭金（1966-），男，遼寧朝陽人，本科，高級講師，研究方向：中學數學教學.

圓錐曲線中的雙曲線在直角坐標系中的標準方程為x2a2-y2b2=1，其圖象的對稱軸是坐標軸，漸近線為過原點的兩條傾斜直線，把這種雙曲線稱為標準雙曲線.若將標準雙曲線在坐標系平面內繞原點旋轉一定的角度，則對稱軸和漸近線都會發生變化，雙曲線在直角坐標系中的方程形式也會發生變化，由此可形成各種函數.此外，把反比例函數圖象在坐標系中進行平移，還可得到各種形式的函數.我們把這類對稱軸不在坐標軸上的雙曲線稱為另類雙曲線，對應的函數稱為雙曲線型函數.下面按三種情形進行舉例分析.

1?反比例函數圖象是雙曲線

反比例函數y=kx（k≠0）的圖象是關于原點對稱的雙曲線，漸近線分別為x和y軸.若k>0，則函數圖象分布在第一、三象限，在每一象限是單調減函數;若k<0，則函數圖象分布在第二、四象限，在每一象限內是單調增函數.

曲線方程為xy=k，對稱軸方程為y=±x.

對于y=kx，若k>0，則由均值不等式可知x+y≥2?k，即在第一象限的橫縱坐標之和存在最小值，即頂點的橫縱坐標之和2?k.由于圖象的頂點在對稱軸y=x上，則它是等軸雙曲線，可知頂點的坐標為（k，k），那么頂點間的距離為2?2k.半實軸和半虛軸的長度為a=b=2k，則由c2=a2+b2可知焦距2c=4k，離心率e=ca=2，焦點的橫坐標x=csin45°=2k，縱坐標也為2k.由此可見，若將反比例函數y=kx（k>0）的圖象按順時針旋轉45°，則可得到標準雙曲線，其方程為x22k-y22k=1.

例1?求函數f（x）=1x2+1（1-x）2，x∈（0，1）的最小值.

解析?設a=1x，b=11-x，則1a+1b=1.

即a+b=ab.因此（a-1）（b-1）=1.

則點（a，b）的軌跡是等軸雙曲線，對稱中心為（1，1），實軸上的兩個頂點為（0，0）和（2，2）.

顯然，當a>1時，兩點（a，b）與（0，0）的距離的最小值等于雙曲線實軸的長度為2?2，即a2+b2的最小值為2?2，因此f（x）的最小值為8.

例2?已知a，b∈R+，a+b=1，求（a+1a）2+（b+1b）2的最小值.

解析?多項式（a+1a）2+（b+1b）2可看作點（a，b）與點（-1a，-1b）之間距離的平方.

因為a>0，b>0，a+b=1，則動點（a，b）表示的方程為x+y=1（x>0，y>0），是傾斜直線.

設x=-1a，y=-1b，由于a+b=1，則x+y=-xy，因此動點（-1a，-1b）表示的方程為（x+1）（y+1）=1（x<0，y<0），是等軸雙曲線的一部分，如圖1所示.

兩條雙曲線的對稱中心為（-1，-1），其中一條雙曲線的頂點坐標為C（-2，-2），由圖1可知頂點到直線x+y=1的距離為5?22，是最小值.

所以（a+1a）2+（b+1b）2的最小值為252.

例3?二元函數（x-y）2+（x+1y+1）2的最小值是（?）.

A.12B.2C.2D.32

解析?令d=（x-y）2+（x+1y+1）2，表示兩點A（x，x+1）與B（y，-1y）之間的距離.

作出函數y=x+1與y=-1x的圖象如圖2所示，可知點A在直線y=x+1上，點B在雙曲線y=-1x上.為了得到最小值，點B只能為第二象限內的雙曲線頂點，即點B的坐標為（-1，1），可知實半軸的長度為2，則兩點間距離d=22.所以函數f（x，y）的最小值為d2=12.選項A正確.

2?線性分式函數圖象是雙曲線

對于由兩個一次函數之比構成的函數即分式線性函數y=ax+bcx+d（c≠0，ad≠bc），可變形為

y=ac（cx+d）+b-daccx+d=ac+kx+dc，k=bc-adc2.

其圖象可由反比例函數y=kx平移而成，因此也稱為反比例平移函數.對于y=f（x±a）（a>0）的圖象，可由y=f（x）的圖象向左或向右平移a個單位而得到;對于y=f（x）±b（b>0）的圖象，可由y=f（x）的圖象向上或向下平移b個單位而得到.其中“加減”對應“左右”或“上下”，即詞語中文字的正常順序是一一對應的.可簡記為：若自變量加減常數則圖象左右平移;若函數值加減常數則圖象上下平移.

由此可知，將y=kx圖象先向左平移dc，再向上平移ac，即可得到y=ax+bcx+d圖象.

由于y=kx圖象的對稱中心為O（0，0），可知y=ax+bcx+d圖象的對稱中心為M（-dc，ac）.

函數還可變形為方程的形式，即（x+dc）（y-ac）=k，由于xy=k曲線的對稱中心為O（0，0），可知（x+dc）（y-ac）=k曲線的對稱中心為M（-dc，ac）.

因此漸近線方程為x=-dc，y=ac，值域是y≠ac的一切實數，定義域是x≠-dc的一切實數.對稱軸方程為y-ca=±（x+ba）.

無論如何平移，圖象的間距、長度、對稱軸方向、圖象的彎曲程度以及單調性都保持不變，因為該圖象的性質取決于y=kx的圖象，仍然為等軸雙曲線，焦距為2c=4?|k|，離心率為e=2.

例4?已知函數f（x）=ax+1x+2a在區間（-2，+∞）上是單調遞增的，求實數a的取值范圍.

解析?f（x）=ax+2a2-2a2+1x+2a=a-2a2-1x+2a=a+-（2a2-1）x+2a.

由此可知函數圖象是對稱中心為（-2a，a）的反比例雙曲線，可由y=kx的圖象平移而成.

由于f（x）是增函數，因此y=kx的圖象分布在第二、四象限，則k=-（2a2-1）<0.

由于題中給出f（x）的單調區間是（-2，+∞），而漸近線x=-2a不能位于單調區間（-2，+∞）之內，則-2a≤-2.解得a≥-1.

例5?數列an滿足an=n+13n-11，求此數列的最大值和最小值.

解析?將數列視為函數y=x+13x-11，則

y=13+1433x-11=13+149x-113（x≠113）.

可知函數圖象由y=149x的圖象平移而成，對稱中心為（113，13），則漸近線方程為x=113，y=13.

由于反比例函數y=149x的圖象分布在一、三象限，是減函數，因此y=x+13x-11是減函數，在漸近線x=113附近存在最大值和最小值.

由于n∈N+，可知當n=3時，an取最小值為-2;當n=4時，an取最大值為5.

例6?將y=1x的圖象繞原點順時針旋轉45°得到雙曲線x2-y2=2，則曲線y=x-4x-1的焦距為（?）.

A.2?3B.2?6C.4D.4?3

解析?由于y=x-4x-1=1+-3x-1，可知其圖象是由y=-3x圖象平移而成，是雙曲線，則焦距大小保持不變.

而y=-3x圖象是等軸雙曲線，可知a=b=2k=6，則c=12.

所以焦距為2c=43.選項D正確.

3?雙鉤函數圖象是雙曲線

對于由正比例函數與反比例函數之和構成的函數y=ax+bx（a>0，b>0），在區間（-∞，+∞）上的圖象如圖3所示.因此把這種函數形象地稱為雙鉤函數或耐克函數，圖象關于原點對稱，即對稱中心在坐標原點，是奇函數.其漸近線方程分別為x=0（y軸）和y=ax.由均值不等式c+d2≥cd可知，當且僅當ax=bx，即x=±ba時，函數y取極值為±2?ab.在第一象限內，在區間（0，ba]上是減函數;在區間[ba，+∞）上是增函數.定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），值域為（-∞，-2?ab）∪（2?ab，+∞）.

雙鉤函數圖象也是雙曲線，其頂點位于對稱軸上，要注意頂點與極值點并非同一點.下面求其頂點坐標、半實軸長度、半虛軸長度以及焦點坐標.

設漸近線的傾斜角θ，過頂點的對稱軸即實軸的傾斜角為α，與縱軸的夾角為β，則各角度關系為β=90°-α，2β=90°-θ，可知漸近線的斜率為a=tanθ，對稱軸所在直線的方程為y=xtanα.

由于tanα=cotβ，tan2β=cotθ=1a，利用倍角公式可得tanα=a+1+a2.

將對稱軸方程y=xtanα和曲線方程y=ax+bx聯立，可得頂點的橫坐標滿足（tanα-a）x2=b，即x2=b1+a2，則y2=x2cot2β=x2tan2α.可知半實軸滿足d2=x2+y2=2b（a+1+a2），即d2=2btanα.由此得半實軸的長度為d=2btanα.過頂點作切線與漸近線相交，則交點到頂點的距離為半虛軸，其長度為dtanβ=2btanαcotα=2bcotα.在第一象限雙曲線的焦點坐標為（2bcotα，2btanα）.可見，半實軸的長度和半虛軸的長度分別與焦點的縱坐標和橫坐標相等.若將雙鉤函數圖象繞原點按順時針旋轉α角，則可得到標準雙曲線x22btanα-y22bcotα=1.

雙鉤函數可變形為y=ax2+bx，由此可知，由一元二次函數與一次函數之比構成的分式函數也是雙鉤函數.y=ax2+b2x的值域為（-∞，-ab）∪（ab，+∞）.

例7?已知a>0，求a2+1a+1（a>-1）的最小值.

解析?y=a2+1a+1=（a+1）2-2a-2+2a+1=（a+1）+2a+1-2.

令a+1=x>0，則y=x+2x-2，x∈（0，+∞）.

由于雙鉤函數y=x+2x圖象是雙曲線，當x∈（0，+∞）時，圖象位于第一象限，如圖3所示，由極值條件x=2x可得x=2，此時y=x+2x取最小值，可知y=x+2x-2的最小值為f（2）=2+22-2=2?2-2.所以a2+1a+1（a>-1）的最小值為2?2-2.

例8?求證：sinx+cosx

證明?設f（x）=sinx+cosx，則f（x）=2sin（x+45°）≤2.

設g（x）=x2+5x2+4，則g（x）=x2+4+1x2+4.

令u=x2+4，則u∈[2，+∞）.

由函數φ（u）=u+1u的圖象可知在區間[1，+∞）上是增函數，所以φ（u）在區間[2，+∞）上的最小值為φ（2）=2+12=52，即g（x）≥52.

可知f（x）≤2<52≤g（x），所以原不等式成立.

例9?求函數y=1+x21+x+x2+x1+x2的值域.

解析?令t=1+x21+x+x2，構造函數y=f（t）=t+1t-1.

首先求t的取值范圍.對（t-1）x2+t·x+（t-1）=0，由判別式Δ=t2-4（t-1）2≥0，解得23≤t≤2，即t∈[23，2].

由極值條件t=1t，解得t=1.由于t=1∈[23，2]，因此y的最小值為ymin=f（1）=1.

兩個極大值分別為f（23）=76，f（2）=32，故最大值為ymax=f（2）=32.

所以函數y的值域為[1，32].

例10?把雙曲線x23-y2=1繞原點按逆時針方向旋轉一定的角度α后，能得到某一個函數的圖象.求：（1）角α的值;（2）新圖象的漸近線方程.

解析?（1）標準雙曲線在第一象限內的一條漸近線為y=bax=33x，則傾斜角θ滿足tanθ=33，可知θ=30°，則該漸近線與y軸的夾角為α=60°，因此把雙曲線x23-y2=1繞原點按逆時針方向旋轉60°后，漸近線能與y軸重合.由此可得到一個新函數的圖象.

（2）新函數為雙鉤函數y=Ax+Bx（A>0，B>0），圖象的對稱軸與y軸的夾角為β=30°，可知雙鉤函數圖象的一條漸近線y=Ax與x軸的夾角為90°-2×30°=30°，則A=tan30°=33.所以新圖象的一條漸近線方程為y=33x.

總之，反比例函數圖象、線性分式函數圖象、雙鉤函數圖象都是具有離心率的雙曲線，具有中心對稱性和軸對稱性.靈活利用這三種函數解析式的特點和性質解題，做到數形結合，則可拓展思路，化繁為簡.

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（收稿日期：2019-07-16）