邱鵬
[摘? ? ? ? ? ?要]? 線性規劃是高考的一個重要考點.學生往往受“線性”二字的影響,遇到非線性目標函數就不知所措.通過一道試題解法引出非線性目標函數.總結出非線性目標函數的類型,歸納出解題方法.在高考新形勢下,對線性目標函數的教學引起反思.
[關? ? 鍵? ?詞]? 非線性;目標函數;方法
[中圖分類號]? G634.6? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603(2019)35-0232-02
一、背景解讀
題目 橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點,且·的最大值的取值范圍是[c2,3c2],其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍是(B)
A.[,]????????????????????????????? B.[,]
C.(,1)????????????????????????????? D.[,1)
分析:橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點,所有橢圓的焦點坐標可以假設為F1(-c,0),F2(c,0).則·=x2+y2-c2,因此可以通過非線性目標函數解題,得出a、b、c的不等關系,進一步解得離心率e=的范圍.
解:由題意橢圓M:+=1(a>b>0)為焦點在x軸的橢圓,又橢圓的焦點為F1、F2,P為橢圓M上任一點.
設P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),所以=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
·=x2+y2-c2.可將·=x2+y2-c2看作一個非線性目標函數.
因為x2+y2=(x-0)2+(y-0)2可看作P(x,y)到原點(0,0)的距離的平方,P(x,y)為橢圓上任意一點,由橢圓的性質可知:橢圓長軸上的端點到原點的距離為最大值.
所以(x2+y2)max=a2,又因為a2-c2=b2.所以·=x2+y2-c2=a2-c2=b2,由題意c2≤b2=a2-c2≤3c2,e=.解得≤e≤.
故答案選B.
二、解后反思
此題是一道圓錐曲線為背景,考察橢圓性質和非線性目標函數的題目.線性規劃是高考必考點,尤其是對目標函數的解讀至關重要.在約束條件下,目標函數常見代數式的幾何意義往往會有三種.
第一種:z=ax+by(ab≠0)此類型目標函數為線性目標函數;解法:將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優解在頂點或邊界取得,在此筆者不作為研究重點.
第二種:z=表示點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.此類型目標函數為非線性目標函數
第三種:z=表示點(x,y)與點(a,b)之間的距離;此類型目標函數為非線性目標函數
高考考察非目標函數,往往會結合考察其他知識板塊的交匯.要求學生在掌握知識的基礎上,會識別目標函數特別是非線性目標函數類型.根據目標函數的類型解題.
三、試題鏈接
例1.已知平面向量=(1,),-=1,則的取值范圍(? )
A.[0,1]? B.[1,3]? C.[2,4]? D.[3,4]
分析:根據題目可以設=(x,y),-==1,得出(x-1)2+(y-)2=1.則=(x,y)表示圓上的點;=為目標函數表示點(x,y)與原點(0,0)之間的距離,可與數形結合得出答.
解:設=(x,y),則-==,又因為-=1.所以(x-1)2+(y-)2=1.則=(x,y)表示圓心(1,),半徑r=1的圓上的點;
又因為=為目標函數,表示點(x,y)與原點(0,0)之間的距離.根據圓的性質:max=+r=3;max=-r=1.
所以∈[1,3]
故答案選B.
例2.(2015新課標1理15)若x、y滿足約束條件x-1≥0x-y≤0x+y-4≤0.則的最大值為 ??.
分析:根據不等式組在平面直角坐標系中做出可行域.非線性目標函數表示(x,y)與點(0,0)連線的斜率.數形結合可以解出此題.
解:根據不等式組在平面直角坐標系中做出如圖可行域(陰影部分ABC).
非線性目標函數表示可行域內的點(x,y)與點(0,0)連線的斜率.
由圖像可知直線OA的斜率最大.
又因為x=1x+y-4=0,得到x=1y=3,即A(1,3).
所以KOA==3.
故答案填3.
四、教學啟示
線性規劃往往會與其他知識結合,形成綜合題,難度會變得很大.學生學習的時候,往往受“線性”二字限制,所以我們在教學和學生的復習時需要掙脫“線性”二字,題目有可能是非線性目標函數題.然后識別目標函數的類型,數形結合解題.
參考文獻:
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◎編輯 曾彥慧