關于高中數學拋物線兩個結論的推導研究

賀雨曦

摘 要： 高中數學拋物線知識中，有兩個結論的推導在解題過程中應用，能夠快速解題，將問題的多個角聯系起來，從而實現角與角的轉換，這一知識點也是大部分高中生在學習數學的難點。本篇文章基于此，從高中生的視角出發，首先簡要介紹這兩個拋物線結論，然后再提出推導方法和過程。

關鍵詞： 高中數學；拋物線；推導過程

前言：拋物線有一些結論，能夠幫助學習者在面對選擇題、填空題，快速地完成解題，同時幫助他們打開解題思路。相比起傳統解題方法，利用拋物線的兩個結論能夠節省許多的時間，特別是對于卷面分值較小的選擇、填空題，采用這個方法既保證答題正確，又節省更多時間用于其他類型問題的解答。

一、拋物線的兩個結論

結論一：若AB是拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦（過焦點的弦），且A（x1，y1），B（x2，y2），則：x2y2=p2/4，x1y2=p2

例題：已知直線AB是過拋物線y2=2px（p>0）焦點F，求證1/丨AF丨+1/丨BF丨為定值。

結論二：若（1）若AB是拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦，且直線AB的傾斜角為α，則丨AB丨=2P/sin2α（α≠0）。（2）焦點弦中通經（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。

例題：已知拋物線y2=9x過焦點的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為？

通過以上結論及其所舉例題，可以明確問題所考察的內容，包括拋物線、曲線切線、直線的知識點，所涉及的函數與方程、數形結合的解題技巧。學習這兩個結論，有助于鍛煉學習者的化歸和轉化的數學思維、運算求解能力，從而站在更廣闊的角度思考數學問題，并盡心解答[1]。

二、解題方法以及解題思路分析

通過以上兩個結論比較，可以看出它們的共同點有以下幾點：1、給定的焦點弦為y2=2px（p>0），結論一是將焦點坐標設為F（P/2，0），當AB不垂直于x軸時，得出直線AB的方程。結論二是通過設A為（x1，y1），B為（x2，y2），由此得出直線AB的公式：設AB：y=k（x-P/2）。2、第二個相同點是兩個結論，所解決的問題相近，主要是如何通過切線平分角，從而確認直線與焦點的關系。通過歷年的高考數學真題以及其他模擬試卷，都可以發現許多類似的問題，對于這些問題的解答，都主張采用函數表達式解答。這樣的解題方法，對于學習者而言思路更加開闊。

基于以上分析，求解拋物線焦點弦最為常用的解題方法，就是通過設置焦點坐標，然后再利用導數表示斜線AB的斜率，設斜線方程并與拋物線方程所聯系，從而利用判別式y2=2px（p>0）鋪展開解題思路。求直線防塵采用斜截式，以韋達定理列出直線、拋物線方程的焦點坐標，幾何意義的待定系數利用導數推出。通過導數確定斜線的斜率以及直線與拋物線方程位置關系[2]。

三、拋物線結論推導過程解析

上文提到兩個拋物線結論，都是利用導數來推導出問題的幾何意義，從而將焦點坐標列出。

（一）第一結論的推導過程

若是AB是拋物線方程y2=2px（p>0），通過以上關系，可以了解該拋物線是過焦點的弦，從而可以證明坐標為F（P/2，0），通過進一步的證明過程，可以確認AB不垂直于x軸，設置的AB方程為y=k（x-P/2）。

例題：已知直線AB是過拋物線，過焦點的弦條件為y2=2px（p>0），根據以上條件求出1/丨AF丨+1/丨BF丨為定值。

針對以上問題，首先設立設置AB直線的拋物線方程y2=2px（p>0），因為AB不垂直于x軸，射出直線AB的方程y=k（x-P/2）。從而可以得出y=k（x-P/2），y2=2px，共同得出ky2-2py-kp2=0。因為y1y2=-p2，可以設為以下公式x1x2=y12/2p·y22/2p=p4/4p2=p2/4。

根據以上條件，當直線AB垂直于x軸時，直線方程可以列為x=p/2，從而y1y2可以列為y1=p，y2=-p，所以y1y2=-p2，基于以上關系x1x2=p2/4。證明過程如下：

設A（x1，y1），B（x2，y2），根據拋物線的定義可以知道丨AF丨=x1+p/2，丨BF丨=x2+p/2，又因為丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨。根據以上關系，x1+x2=丨AB丨-p，由此得出結論x1x2=p2/4。

基于以上關系可列為：1/丨AF丨+1/丨BF丨=丨AF丨+丨BF丨/丨AF丨·丨BF丨=丨AB丨/（x1+p/2）（x2+p/2）=丨AB丨/x1x2+p/2（x1+x2）p2/4=丨AB丨/p2/4+p/2（丨AB丨-p）+p2/4=2/p（常數）

（二）第二結果推導過程

若AB是拋物線，過焦點的弦為y2=2px（p>0），AB傾斜角為α，則可以判定丨AB丨=2p/sin2α（α≠0），過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦最短。證明過程：

（1）設A為（x1，y1）B為（x2，y2），直線AB：y=k（x-P/2）；根據設定的條件，y=k（x-P/2） y2=2px；ky2-2py-kp2=0，從而得到y1+y2==2p/k，y1y2=-p2；根據以上條件，驗證公式為丨AB丨=1+1/k2丨y1y2丨=1+1/k2（y1+y2）2-4y1y2=1+1/k2·1+1/k2·2p1+k2/丨k丨=2p（1+k2）/k2=2p（1+tan2α）/tan2α=2p/sin2α

（2）通過條件（1）可以確定AB為通徑時，α=90°，sin2α值最大，丨AB丨值最小。

例題：已知拋物線為y2=9x，其過焦點的弦AB長為12，求直線AB的傾斜角。

這道問題的解法，可以采用結論二的方法，12=9/sin2α（其中α為直線AB的傾斜角），基于此條件sinα=± /2，所以直線AB傾斜角為π/3或2π/3。第二種結論的驗證方法，相比其他驗證方法，其應用優點表現在斜率不存在時也能夠成立。

在解題過程中，部分學者對于導數幾何意義不夠了解，因此忽視了導數在解決函數問題的作用。此外，部分學習者由于缺乏數學思維，在分析問題時沒有考慮到問題的變量關系以及其他復雜的關系式，從而不知道從何推算問題。針對這一問題，需要全局把握問題，預先規劃解題步驟，從中找尋最佳的解題思路和方法。

結論：綜合上述，本篇文章基于兩個拋物線結論，提出了兩種解題方案，主張采用導數來推出幾何意義，然后列出函數方程。這種解題方法的應用難點，在于學習者沒有以數學思維考慮問題，從而忽視了變量以及關系式的復雜性。希望本文的研究能夠為讀者提供有益參考。

參考文獻

[1]楊玲.高中數學有效思維課堂的構建——以《拋物線的焦點弦性質探究》一課教學為例[J].延邊教育學院學報，2018，32（01）：138-140.

[2]劉娟.高中數學實施“同課異構”的反思——以北師大版“拋物線及其標準方程”教學為例[J].教師博覽（科研版），2017（07）：64-65.