基于馬爾可夫鏈的裝備技術成熟度評估方法

李 亮，宋敬華，郭齊勝

（陸軍裝甲兵學院，北京 100072）

0 引言

評估在日常生活中扮演著重要的角色。人們經常希望通過比較不同事物的優劣以作出正確的決策。對于構成裝備及裝備體系的關鍵技術也是如此，成熟度評估是評價不同關鍵技術好壞的重要手段之一。

現代武器裝備技術水平進行綜合評價的目的，是要回答武器裝備的先進程度如何，其簡單的評價指標是先進、一般和落后。但是，由于武器裝備技術是不斷發展的，進行評價的參照系是隨著時間的推移而不斷變化的，也就是說，對武器裝備的技術水平進行評價不能脫離時間這個因素。

成熟度評估的結果經常有時滯。因此，依據評估結果所做的決策也有時間上的滯后。本文嘗試提出一種基于馬氏鏈的成熟度評估方法以解決這個問題。將關鍵技術成熟度的評估值作為一個馬爾可夫鏈，初始分布和轉移概率矩陣可以通過統計計算得到。進一步可以通過計算得到成熟度的穩態分布。將成熟度的數學期望作為成熟度的評估值?；诔跏挤植?、轉移概率矩陣和穩態分布的計算可以分別得到成熟度的初始值、演化值和穩態值?？梢酝ㄟ^成熟度評估次數的增加，不斷更新轉移概率矩陣的信息，從而更新成熟度的評估值以保證評估結果的準確性。

1 馬爾可夫鏈與成熟度評估

成熟度評估存在時滯問題，針對時滯可采用馬氏鏈方法進行解決。本節主要對成熟度評估的時滯問題和馬氏鏈的基本理論進行分析。

1.1 時滯問題

本文所謂的時滯有兩方面含義：一方面評估結果有時滯；另一方面決策有時滯。

1）時間與空間無時無刻不在變化?；谶@樣的事實，對傳統評估方法而言，當經過一系列復雜的過程得到評估結果時，被評價對象的狀態已經發生改變。這樣一來，評估結果有了時間上的滯后，即評估的時滯。

2）所謂的決策時滯是指由于評估的時滯，基于評估結果所作出的決策也不可避免地具有時滯和誤差。這樣一來決策也就有了時間上的滯后。

1.2 解決方案-馬爾可夫鏈

事物的發展，是多層次的隨機事件與必然事件相互交替和相互作用的過程。雖然個別隨機事件在某次試驗或觀察中可以出現也可以不出現，但在大量試驗中它卻呈現出明顯的規律性-頻率穩定性［1］。下面對相關概念進行介紹［2-4］。

1.2.1 有限狀態齊次馬爾可夫鏈

給定σ-域B上的狀態空間S，一個由在S中取值的隨機變量 ξn組成的隨機過程{ξn，n=0，1，2，…}稱為馬爾可夫鏈，如果對每一個非負整數n和集合T∈B，幾乎處處成立

當 P{ξn+1∈T|ξn}不依賴于起始時刻 n 的取值，則稱之為齊次馬爾可夫鏈。當S是一個有限集合時，稱之為有限狀態齊次馬爾可夫鏈（馬氏鏈），式（1）稱為馬爾可夫性（馬氏性）。

1.2.2 平穩分布（不變測度）

稱概率分布{πi，i∈S}為馬爾可夫鏈ξ的平穩分布，如果

式（2）可以表述為向量形式

1.2.3 基本假設

當對一個系統進行評估時，第k+1次評估的結果僅與第k次的有關，而與第k次之前的評估結果無關。換句話說，專家對每個指標的打分具有馬爾可夫性。如果打分值在整數集中取值且與起始時刻無關，那么每個指標的分值組成的隨機過程就是一個有限狀態齊次馬爾可夫鏈。

在如上假設條件下，馬爾可夫鏈的相關理論就可以用來解決涉及專家打分評估的相關問題。馬氏鏈中初始分布的概念可以用來刻畫指標得分的初始出現頻率。轉移概率矩陣的概念可以用來描述第k+1次評估和第k次評估之間的關系。對打分結果的統計分析恰好可以描述指標權重的當前狀態；借助轉移概率矩陣，又可以得到指標權重的演化趨勢；最后，平穩分布的概念可以用來確定權重的穩態值。

首先，初始權重可以通過計算指標打分值的頻率來獲得；其次，指標權重隨著時間推進的演化趨勢可以通過轉移概率矩陣的相關運算得到；最后，各個指標最終的穩態值可以通過平穩分布的相關計算進行確定。

根據初始權重（通常是傳統方法所得到的評估結果），決策者可以像往常一樣作出他們的決策；根據權重的演化趨勢，決策者可以了解評估結果的變化趨勢。最終，再結合穩態分步的結果，由于評估結果時滯的減小，并且系統的當前狀態及演化趨勢已知，決策者的決策誤差也就有了相應減小的可能。

基于馬氏鏈的評估方法過程簡單、模型通用，下面將用來消除成熟評估過程的時滯，建立基于馬氏鏈的成熟度評估方法

2 基于馬爾可夫鏈的裝備技術成熟度評估

建立基于馬爾可夫鏈的成熟度評估方法，需要一些合理的假設和適當的準備工作。本節還將對所提出方法的具體步驟、與經典模型的比較、向技術體系成熟度評估的推廣進行分析。

2.1 基本假設

根據1.2節中的基本假設，得出如下的基本假設：

1）假設第k+1次成熟度評估的結果僅與第k次成熟度評估的結果有關，而與之前的評估結果無關。這其實是比較符合實際的，因為假設某一技術在k時刻處于TRL2，那么在k+1時刻，正常情況下它不依賴于之前k-1時刻的成熟度等級，最起碼他不會回到TRL1。這樣一來，根據相關定義，TRLs和IRLs就具有了馬爾可夫性。

2）某項關鍵技術的發展及其與其他關鍵技術之間的交互存在可循的規律。

正如恩格斯所指出的，表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內部隱蔽著的規律支配的，而問題只是在于發現這些規律。技術發展規律的分析思路是分析現狀、趨勢、對比找出不足。在假設1）條件下，考慮到成熟度等級的有限狀態（一般為5、7或者9狀態）以及它的狀態轉移與起始時刻無關（齊次性），有限狀態馬爾可夫鏈的相關理論，可以用來描述并解決技術成熟度評估、集成成熟度評估和系統成熟度評估的問題。

2.2 準備工作

為了用馬爾可夫鏈的相關理論來解決成熟度評估的時滯問題，需要做一些前期的準備工作。

1）確定技術成熟度和集成成熟度的狀態空間

為了方便起見，將成熟度等級記為{m0，m1，…，mn}，這樣一來，n級的標度及組成了一個狀態空間。

2）獲取TRL/IRL的初始分布

對第k次和第k+1次成熟度評估數據進行統計分析，初始分布可以表示為：

其中，P{ξ（k）=ml}=n（ml）/∑n（ml）（l=0，1，…，n），即P{ξ（k）=ml}表示的是成熟度 ml在第 k 次成熟度評估中出現的頻率。

3）進行進一步的統計分析以獲取TRL/IRL的一步概率轉移矩陣

計算成熟度從狀態i到狀態j轉移的概率，作為概率轉移矩陣P中的元素pij，P=（pij）（n+1）×（n+1）。

完成以上工作以后，初始成熟度、演化成熟度就可以進行計算了。實際上，成熟度被認為是他們自身的數學期望。

初始成熟度計算如下：

r步轉移后的演化成熟度計算如下：

為了計算穩態的成熟度，首先要得到穩態分步。穩態分步可以通過求解如下方程組得到。

其中，1n+1=（1，…，1）'；0=（0，…，0）'；P=（pij）（n+1）×（n+1）；（·）+表示的是矩陣“·”的 Moore-Penrose廣義逆矩陣（因為它的存在性和唯一性）。

這樣，穩態成熟度的計算如下：

2.3 具體步驟

模型流程如圖1所示。

圖1 基于馬氏鏈的SRA方法流程圖

1）關鍵技術CTEs獲取

CTEs通過QFD/TRIZ/WBS進行獲取。通過WBS可以獲取初始的CTEs，借助QFD/TRIZ的幫助，可以獲取CTEs的權重［5-6］。綜合考慮可以得到系統的關鍵技術指標CTEs。

2）初始IRL/TRL獲取和初始SRL的計算

邀請若干評估小組分別進行成熟度評估。記錄初始的TRL/IRL及相應的SRL。為了進行評估的方便，設計如圖2（表示CTEi的技術成熟度是TRLi，CTEi和CTEj的集成成熟度是IRLij）所示的表示方式。

圖2 TRL/IRL關系示意圖

假設有n個CTEs，TRL=（TRLi）n×1，IRL=（IRLij）n×n，SRL=（SRL）1×1，那么 TRL/IRL/SRL 的關系可以用公式表示如下：

其中，li（i=1，2，…，n）表示的是和CTEi有集成關系的CTEs的個數（包括CTEi本身在內）；ωi（i=1，2，…，n）表示的是CTEi的權重。

根據式（5）和TRL/IRL/SRL的初始狀態可以獲?。?。

3）進行第k次成熟度評估

邀請相同數目（盡量和之前相同）的評估小組進行第k次成熟度評估。將評估數據記為：和。

4）進行第k+1次成熟度評估

邀請相同數目（盡量和之前相同）的評估小組進行第k+1次成熟度評估。將評估數據記為：TRLk+1=，和。

5）獲取一步轉移概率矩陣

通過對各成熟度的轉移頻率進行分析，分別獲取TRL和IRL的一步轉移概率矩陣。

6）求解穩態分步

通過求解式（3），可以得到TRL和IRL的穩態分布TRLs和IRLs。

7）穩態TRL/IRL獲取與SRL計算

根據式（4），計算穩態 SRL。

8）結果對比分析并作為決策支持

將初始的、演化的和穩態的SRL進行對比，得出的相關分析結果可以作為決策支持。

2.4 和經典模型的比較

1）從成熟度獲取方面?；隈R氏鏈的系統成熟度分析模型通過初始分布、轉移概率矩陣和穩態分步獲取3種形式（初始、演化、穩態）的成熟度；經典模型僅能通過簡單的統計分析或數學計算獲取一個成熟度數值。

2）對時滯的處理方面?；隈R氏鏈的模型通過轉移概率矩陣和穩態分布來解決時滯問題；經典模型對時滯問題基本沒有考慮。

3）從短板的避免方面。對于每一項CTE在裝備發展的不同階段通過不同的閾值（短板的底線）來進行約束，從而避免單項技術短板的出現。同時，由于IRL的引入，還可以克服集成過程中可能出現的“集成短板”，這一點是傳統方法不容易實現的。

綜合來講，由于馬氏鏈模型的采用從某種程度上可以降低系統設計中的風險，決策者的決策變得更加準確和科學。

2.5 向技術體系成熟度評估的推廣

引入系統集成成熟度（System Integration Readiness Level，SIRL）的概念，用于衡量不同系統（System）之間集成成熟度，并用于計算技術體系成熟度（Technical System of System Readiness Level，TSoSRL）。

其中，hi（i=1，2，…，n）表示的是和Systemi有集成關系的 System的個數（包括Systemi本身在內）；μi（i=1，2，…，n）表示的是 Systemi的權重；m 表示的是系統集成成熟度的分級；SRL/1中的1是因為SRL是［0，1］之間的一個數。

通過類似技術成熟度到系統成熟度的步驟，就可以通過系統成熟度和系統集成成熟度獲取技術體系成熟度。

3 應用示例

為了驗證基于馬氏鏈的方法的科學性和可行性，下面給出一個基于馬氏鏈的系統成熟度評估的例子。

1）通過WBS/QFD/TRIZ過程，得到4項關鍵的裝備技術。第k次和第k+1次評估結果（評估小組由4個專家組成）分別如圖3和下頁圖4所示。

圖3 第k次評估結果

為了計算的方便，將圖3和圖4轉化為表格形式，如下頁表1～表4所示。

2）根據馬氏鏈相關公式進行數據分析，將一些關鍵結果列在下面。

圖4 第k+1次評估結果

表1 第k次評估的技術成熟度

表2 第k次評估的集成成熟度

表3 第k+1次評估的技術成熟度

表4 第k+1次評估的集成成熟度

為了更加形象地展示成熟度在不同轉移步數時的狀態，分別將技術成熟度、集成成熟度和系統成熟度轉移步數的變化規律繪制成散點圖，如下頁圖5～圖7所示。

圖5 TRL演化規律

圖6 IRL演化規律

圖7 SRL變化規律

從圖5～圖7中可以看出，在初始階段，TRL1TRL2TRL3=TRL4并且有SRL=0.555 7；在穩態階段，TRL1=TRL2=TRL3=TRL4并且有SRL=0.914 3。從中可以看出，如果僅僅按照傳統方法（即初始狀態成熟度SRL-1）進行決策，則可能會拒絕這一技術方案；但是如果參考穩態的成熟度數值（SRL-5）及到達穩態所需的轉移步數（本例大約9步即可到達0.901 2，如圖7所示），則有很大可能會接受這一方案。拒絕一個可行的方案將是十分可惜的?；隈R氏鏈的評估方法減少了時滯對決策的影響，從而降低了決策的風險。以上示例證明，方法是科學可行的。

4 結論

本文針對傳統成熟度評估中存在的評估結果時間滯后的問題，采用馬爾可夫鏈的相關理論分別對成熟度的初始值、演化值和穩態值進行分析和計算，并通過示例對方法進行了演示驗證。結果表明，所提出的基于馬氏鏈的成熟度評估方法正確、合理、可行，且通用性強，可推廣到其他領域中。