魯棒獨立分量分析在結構損傷特征提取中的應用?

徐先峰 張華竹 段晨東

（長安大學電子與控制工程學院 西安 710064）

1 引言

實現大型土木工程結構損傷特征的精確提取，是解決土木工程應用問題的關鍵點之一。同時，特征提取也是信號處理研究課題中的重要步驟［1～5］。獨 立 量 分 析［6］（Independent Component Analysis，ICA）是一類非常重要的特征提取方法，它假設各個源信號之間具有統計獨立性，這為后來的許多算法奠定了基礎［7～10］。但在土木工程應用問題中，由于實際工程結構具有較高的阻尼，導致ICA算法的穩健性降低，很大程度上限制了算法的分離精度，使得模態參數不能有效地識別，為結構損傷特征提取帶來了較大困難［11～13］。

針對傳統ICA算法在結構損傷特征提取中的不足，本文引入RobustICA算法［14］，并將該算法應用于實測IASC-ASCE結構損傷數據的特征頻率提取。實驗結果顯示RobustICA算法分離出的各分量之間獨立性較傳統FastICA算法更高，并在對各分量的固有頻率進行識別后發現，RobustICA算法兼有較高的特征提取精度。

2 RobustICA算法

2.1 信號模型

考慮有n個未知的源信號，經過線性混合之后可以得出如下信號模型：

其中，向量 x（t）=[x1（t），x2（t），…，xm（t）]T表示 m 個觀測信號組成的觀測向量；s（t）=[s1（t），s2（t），…， sn（t）]T是由n個未知的源信號所組成的向量；矩陣H表示未知的混合矩陣（m×n），若假設矩陣H行滿秩，那么其中每一個元素hij（hij=[H]ij）表示第 j個源信號在第i個觀測信號上的混合系數。符號（?）T表示轉置運算符。在下文中，為了方便表示，省略時間t，將式（1）記為

盲源分離所要解決的問題就是從已知的觀測信號x中估計出源信號s。但是，由于混合矩陣H未知，所以需要引入一個分離矩陣W（n×m），使得式（2）轉換為

通過估計分離矩陣W ，使得輸出的y=Wx包含對源信號的估計。則矩陣W中的每一行都相當于用來提取單個源的一個空間濾波器。

2.2 算法理論

在求解分離矩陣W時，需要選擇一個合適的目標函數作為非高斯性的度量，使得W作用于觀測信號x后能將分量的非高斯性最大化。在ICA算法中，通常使用到的一類目標函數為峭度表達式。零均值隨機變量y的峭度一般定義式為

在基于峭度的FastICA算法中，通常采用式（4）的簡化形式：

相對于一般定義式（4），簡化定義式（5）雖然計算簡便，但會引入計算誤差；不僅如此，FastICA算法在尋求最優解時采用的是基于固定點的迭代法，容易陷入局部收斂，導致求得的解非全局最優解。

而Zarzoso等提出的RobustICA算法［14］則是將峭度的一般定義式（4）的絕對值形式作為目標函數，使用精確線性搜索方法來獲得最優步長μ。假設含噪觀測矩陣為x，由于RobustICA算法不需要對其進行白化處理，僅要求其均值為零，則分離后的一個輸出 y=wi?x（i=1，2，…，m）的峭度表達式為

式（6）同樣為峭度函數的一般定義式，是將y=wi?x（i=1，2，…，m）代入式（4）后的結果，不影響其一般性。如果對源信號非高斯性的假設不變，那么則可以將式（6）的絕對值形式作為目標函數，得到最優步長的精確線性搜索方法：

其中g為搜索方向，通常取梯度。至此，峭度準則便可以表示成如下關于步長μ的四次多項式

再對 wi?（k）進行歸一化處理：

最后求得對源信號的估計：

如上步驟為提取第 i個（i=1，2，…，m）分離矢量wi?。反復上述步驟即可獲得完整的分離矩陣W。

本文所做的主要工作如圖1所示。

3 特征分離方法

為了評價算法性能，將平均相似度rˉ作為相關性的評價指標，先計算各分量頻域之間的相關系數：對于隨機向量bi，bj，其相關系數可以表示為ri，j：

其中cov（?X，Y）表示變量 X和變量Y的協方差。ri，j評價相關性可分為以下三種相關等級：

圖1 本文所做的主要工作

1）當 ri，j∈［0.8，1.0］時，表明分量 i與 j具有強相關性；

2）當 ri，j∈［0.4，0.8］時，表明分量 i與 j具有一般相關性；

3）當 ri，j∈［0，0.4］時，表明分量 i與 j具有弱相關性或無相關性。

計算出ri，j后，再利用平均相似度 rˉ對分量的整體相關性予以衡量：

rˉ越小，說明各分量總體呈現較好的獨立性；反之，則說明各分量之間相關性較大，沒有實現完全分離。

3.1 數值實驗

實驗采用ASCE的SHM Benchmark模型，如圖2（b）所示共設置16個節點，對應設置16個傳感器分別安裝在每一層的2，6，8，4的柱子上，模擬6種損傷模式［15］。

該模型具有模擬對稱性，且激勵模擬為作用于每層y方向上的環境風載，因此，在x，y方向上各選取4個作為檢測節點，分別為11、13、20、22、29、31、38、40。選取12自由度對稱模型下第一層所有斜支撐斷裂工況的數據進行分析，數據長度為16384，采樣頻率為1000Hz。

由于源信號與混合矩陣均未知，且僅有傳感器接收到的信號。所以，該實際問題便可以看作是盲源分離模型 x（t）=Hs（t）。8個傳感器接采集到的信號 便 可 看 作 8 路 觀 測 信 號 x（t）=[x1（t），x2（t），…，x8（t）]T，記為（m為觀測信號個數）。

圖2 結構模型的部件標注與檢測節點分布

圖3和圖4分別是利用FastICA算法和Robust-ICA算法對8路觀測信號的盲源分離結果的頻譜。

圖3 FastICA分離后的各分量頻譜

圖4 RobustICA分離后的各分量頻譜

由圖3、圖4可以看出，觀測信號經FastICA算法和RobustICA算法分離后均得到四階固有頻率f1、f2、f3、f4。表1為兩種算法分離出的12自由度對稱模型下第一層所有斜支撐斷裂工況下的模態固有頻率與文獻［15］計算出的該工況下模態固有頻率的對比。

表1 FastICA與RobustICA分離出的模態固有頻率與理論值的對比

表1顯示，FastICA與RobustICA提取出的特征頻率與理論值的均方根誤差分別為0.2230和0.0415，可見RobustICA算法在提取精度上優于FastICA算法；并且，對比圖3與圖4可以看出，FastICA算法分離出的特征頻率出現混疊現象，而RobustICA分離出的各分量具有更高的獨立性。為了更有效地對這些分量進行分析，現利用式（12）對分量兩兩之間的相關系數進行計算，結果如表2。

表2 FastICA和RobustICA分離出的各分量之間相關系數

表2顯示，混合信號經FastICA算法分離后各分量之間相關系數 ri，j全部集中在［0.5，0.97］范圍內，且通過式（13）可以計算出分量的平均相似度rˉ1=0.776∈［0.4，0.8］，說明FastICA算法分離出的各分量總體上具有較強的相關性，出現了嚴重的頻率混疊，沒有實現對源信號的通縮分離。相反，混合信號經RobustICA算法分離后，各分量相關系數的最大值為0.96＞0.8，認為分量b2和b3具有強相關性，屬于同一分量；次大值為0.50∈［0.4，0.8］，則分量b4和b6具有一般相關性，近似為同一分量；其余各分量之間的相關系數均小于0.3，可以認為不具有相關性，b5、b7、b8為噪聲信號；且平均相似度 rˉ2=0.125＜ rˉ1=0.776。由此可以看出 RobustICA算法可以大大降低各分量的相關性，將主要的特征頻率單獨分離出來，近似實現通縮分離，分離精度顯著提高。

3.2 工程實驗

利用RobustICA算法對Phase II IASC-ASCE實測結構數據進行損傷特征頻率提取。Phase II實測結構共有16個數據采集通道，通道16為損傷結構的激勵（隨機環境、力錘、振蕩器等）信號，通道1～15為加速度傳感器采集的損傷結構響應信號。傳感器布置及檢測節點如圖5所示。

圖5 Phase II鋼結構實物模型及檢測節點分布

將環境噪聲作為激勵源，選取無損傷和去掉東側所有斜支撐兩種工況。采集每層中心節點2、5、8、11、14和激勵源節點16的響應信號，數據長度為4096，采樣頻率為200Hz，利用RobustICA算法對這6個通道的信號進行盲源分離。

1）工況一：無損傷

圖6為環境噪聲激勵下工況一的頻譜。

圖6 環境噪聲激勵下工況一的頻譜

將環境激勵下的工況一記為config1.ambient。表3為環境激勵下RobustICA分離出工況一的模態固有頻率與文獻［16］計算出的模態固有頻率的對比。

表3 環境激勵下工況一的模態固有頻率

表3顯示，無損傷工況下，RobustICA算法分離出四階模態頻率，與文獻［16］采用的貝葉斯兩步計算法計算出的四階模態頻率一致，具有較好的分離效果。

2）工況二：去掉東側所有斜支撐

圖7為環境噪聲激勵下工況二的頻譜。

圖7 環境噪聲激勵下工況二的頻譜

將環境激勵下的工況二記為config2.ambient。表4為環境激勵下RobustICA分離出工況二的模態固有頻率與文獻［16］計算出的模態固有頻率的對比。

表4 環境激勵下工況二的模態固有頻率

表4顯示，去掉東側所有斜支撐工況下，RobustICA算法分離出三階模態頻率，與文獻［16］采用的貝葉斯兩步計算法計算出的三階模態頻率一致，具有較好的分離效果。

4 結語

為了精確提取土木工程中結構損傷特征頻率，將一種穩健的盲源分離算法RobustICA應用于實際工程中，對采集到的ASCE實測結構的混合信號進行分離，提取損傷模態的固有頻率，具有較好的分離精度，并能實現對模態頻率的通縮分離，解決了頻率混疊的問題。