從一道習題引發的矛盾談幾何教學

梁姣

不久前，筆者上了一堂初三幾何復習課。這堂課的教學重點是鞏固“點、直線與圓的位置關系”。對點與圓的三種位置關系、直線與圓的三種位置關系，初三的每一個孩子都應如數家珍，也能較熟練地說出判斷點與圓的位置可由點到圓心的距離跟半徑的大小比較來確定，而要證明直線與圓相切則應該同時具備“直線過半徑的外端點，直線垂直于此半徑”兩個條件。所以在孩子們的心目中，判斷點與圓的位置關系或判斷直線與圓的位置關系的相關題型都是基礎題。

于是我擺出了一道“龍門陣”：

2.過點D作DE彝AC，垂足為點E，求證：直線DE是已O的切線。

教師要求每個孩子看題時務必將已知條件標到圖中，至少讀題1分鐘后再開始動筆寫。時間一到，不少孩子就迫不及待地“洋洋灑灑”起來。

部分同學這樣寫：

從教室里走了一圈，我發現此類同學不在少數。于是，通過展臺，我將一個書寫工整漂亮的學生的證明過程投影到屏幕上，讓大家一起來點評?？吹降氖且粋€個欣賞與認同的眼神，“有人需要補充或指正嗎？”我足足沉默了兩分鐘，無疑是肯定地告訴了他們這個方法是錯的。經過這“一瓢冷水”，終于有人陸續發現了破綻，于是質疑聲起：“為什么∠ADB=90毅呢？”仍有些孩子據理力爭：“直徑所對的圓周角為90毅呀！”“既然∠ADB是圓周角，那不就是你們事先知道了點D在圓周上嘍？那還要證明點D在圓周上嗎？”如此一辯，其他人如夢初醒?！班?！是不對勁！”“是啊，矛盾！矛盾！”“的確錯了！”……我趁熱打鐵：“如何證明才行呢？看誰最聰明，先想出辦法來？”果然，不出5分鐘，就相繼有人攻破了我的這道“龍門陣”，而且還想出了好幾種方法來：如過點O作OH彝BD于點H，通過勾股定理求出BH的長，再求出OD的長，得出OD是等于半徑的。又如設⊙O與BC交于點M，連接AM，可根據條件求出BM的長，從而得出BM越BD，即點M與點D重合，由點M在已O上得點D在已O上……，孩子們的思維一下子活躍起來。

突破了第1問再求解第2問，孩子們很自然地關注到一個事實：確定了點D在已O上后，OD就確定是半徑，剩余要證明的就是OD與DE的垂直關系。這對他們來說可是輕車熟路，便一氣呵成了！

趁熱打鐵，我給出了一道變式題，此時，大部分孩子都順利過關，一個個興高采烈。我分享著他們成功地喜悅，也為他們由衷地點贊。

本節課的教學工作圓滿完成，達到了我為他們設置這一道“龍門陣”的預期效果，可以說是收獲頗豐，反思教學過程，筆者也有了新的感受。

幾何證明是邏輯思維的培養與訓練的重要途徑，是由題目給出的已知條件，根據所學知識與原理，一步步推導出所要結論的過程。整個步驟是環環相扣的，不能脫節，忌諱“想當然”，更不能前后矛盾或脫離事實。因此，我們可以設置適當的問題，給學生制造一些思維上的障礙，從而有效地引發爭論，包括自己思考過程中的爭論，以及與同學之間不同意見的爭論，把他們潛在的一些問題擺到了明面上，激發學生進行辨與辯，進而對相關知識有了更明確的認識。這個發現問題→分析問題→解決問題的過程，能不斷提升學生的學習能力。

學生很多時候犯的錯誤都是因為粗心。細心是一種好的習慣，也是一種優秀的品質。雖然沒人保證絕對不犯粗心這個毛病，但我們應該學會從錯誤中分析原因，汲取教訓，這樣才能想辦法去克服，避免重蹈覆轍。如果一開始我就將這道題的易錯點告訴學生，他們便失去了一次犯錯的機會，也不會留下這么深刻的印象，更不會吸取教訓。所以說，適當地制造機會讓學生犯錯，不失為增強他們“免疫力”的一種有效途徑，可以達到事半功倍的效果。

事實證明，經歷了一些必要的坎坷，孩子們在往后的數學證明與求解時，學會了多留個心眼，養成了追根溯源的習慣，思維更嚴謹，解題能力、學習能力也得到了逐步提升，數學素養慢慢提升。

（作者單位：長沙縣百熙實驗學校）