高等數學在運籌學中的應用

王健

1 引言

現如今運籌學作為一門獨立學科與高等數學同為數學專業中的重要分支，高等數學為運籌學的發展提供了理論基礎與方法論，而運籌學也為高等數學的具體應用提供了有效平臺。對于經濟類專業人才來說，將高等數學知識應用在運籌學中可以更加深入、透徹地理解運籌學方法，為重要決策的制定提供輔助支持。

2 高等數學與運籌學的相關性分析

高等數學與運籌學均為高等教育體系下的獨立學科，也是數學專業領域中的重要分支之一。高等數學是運籌學的重要理論來源與方法論基礎，其高等代數、數學分析、幾何學、概率論與數理統計等知識均可用于深化對運籌學方法的理解與掌握，用以將運籌學中的具體問題進行抽象概括、應用與表達，提升運籌學的實際應用價值。而運籌學為高等數學的具體應用搭建了良好的平臺，將運籌學知識應用于經濟管理中實現對人力、物力等資源的統籌管理與調配，為重要決策的制定提供輔助支持，提升管理的針對性與實際效果。二者的關系可以總結為：高等數學是運籌學的基礎，運籌學是高等數學的具體應用。

3 高等數學在運籌學中的具體應用策略探討

3.1 線性代數的具體應用

3.1.1 方程組

數學建模在運籌學中具有重要應用價值，通過調查問題、收集數據，掌握問題的本質特征及其內在規律，進而圍繞問題的主要矛盾作為切入點提出大膽合理的假設，經由抽象轉化后構建用以表示問題的數量關系，進而利用數學技巧與方法解決實際問題。在此過程中，方程組是這類數學模型的主要呈現形式，通過將實際問題抽象、簡化成為數學模型，可以進一步提高問題研究的嚴謹性、便于問題的解決。在運籌學中，由可控決策變量或不可控決策變量構成數學模型，借助相關條件、目標實現對三者關系的度量，數學模型能否正確被認知是求解運籌學問題的重要基礎，因此務必要注重加強方程組知識的運用，依托線性方程組實現對運籌學中的動態規劃、對策論、排隊論等問題的有效解決。

3.1.2 矩陣

通常解答運籌學問題所涉及到的方程組數量較多，利用矩陣的性質與方法能夠使數學模型得以直觀、簡明呈現出來。例如當運籌學中的數學模型涵蓋了線性規劃知識時，利用矩陣可以更好地求取最優解;當數學模型涉及到分配問題時，可以通過矩陣的行列變化求得答案;倘若數學模型涉及到圖論問題，恰好迎合了矩陣中的求解最短距離方法。具體來說，其一可以應用分塊矩陣知識求取線性規劃問題的最優解，將矩陣標準形轉化為分塊矩陣，利用單純形表求得最優解;其二可以利用矩陣的初等變換知識，先將矩陣轉化為單純形表，求得方程基礎解系，繼而獲取到可行解、最優解，利用迭代方法完成矩陣行的初等變換。

3.2 幾何學在描述具體問題中的應用

高等數學中的幾何學知識用以表示空間中的幾何形式與數量關系，借助坐標描述圖形形狀與特點，將其應用于運籌學中主要描述內容并求解。以下題為例：某住宅商開發商擬定在一塊區域內選擇開發位置，共有三處地點可供其進行選擇，分別為城區內a1、城區外a2以及城區交界處a3，且在開發過程中還有可能面臨修建地鐵的情況，分別為修建地鐵策略b1和不修建地鐵策略b2，求解開發商的最優策略。其中開發商的利益矩陣表示為：

其中y1代指開發商的收入。進而將以上三個表達式轉化為圖形，采取對策法求得最優解為a3，即開發商應將開發選址設在城區交界處，可以獲取到收益的最大值。

3.3 概率論與數理統計在隨機運籌學中的運用

隨機運籌學是運籌學的主要分支，由對策論、系統可靠理論、排隊論、不確定決策理論等多項內容組成，這些內容的學習與高等數學中的概率論、數理統計之間存在密切的關聯，奠定了隨機運籌學的重要基礎。以排隊論為例，這類問題在現實生活中普遍存在，諸如醫院中繳費窗口設置的數量、超市中收銀臺設置的數量等，在解答此類問題時需要預先做出合理假設，假設顧客到達的間隔時間的分布類型，將其假定為負指數分布，隨即利用高等數學中的概率論、數理統計中的分布檢驗知識進行判斷，評判其是否屬于負指數分布，并得出具體數值結果。具體來說，可以從以下兩個角度進行概率論與數理統計的應用：

其一是期望問題，例如針對動態規劃知識中的隨機采購問題進行求解，假設在單位時間段內某商品的價格分別為a、b、c，其被選中的概率分別為x、y、z，進而獲取到采購商的期望價格。諸如此類問題還包含儲存策略等，可通過計算收益的期望最大或損失的期望最小獲取到求解結果。

其二是利用概率論與數理統計的性質進行求解，以最經典的報童問題為例，該問題被劃歸到儲存論范疇當中，假設報童每天賣出x份報紙，已知r的性質為一個離散的隨機變量，其概率為P（r），且滿足概率論中的點擊并拖拽以移動這一性質，并假設報童每天準備報紙的總數量為Q。在解答這道問題時，需要從兩個角度進行思考，其一是報紙暢銷的情況，當市場上供不應求時，采取失去銷售機會、少賺錢的方式進行相應求解;其二是報紙陷入滯銷局面，當市場上供過于求時，應采取損失期望最小的方式進行求解。此外，在針對連續隨機變量問題進行求解時，也可以利用高等數學中概率論的知識進行求解。

3.4 數學分析在運籌學中的運用

最值問題在運籌學中的應用范疇最廣，當求解最短距離問題、最大收益問題、最低資源消耗等問題時便涉及到最值問題的求解，對此可以利用高等數學中的數學分析問題進行解答。通常應將被求解的問題轉化為函數問題，通過求取函數的最值得出最優策略。還可以利用導數方法求取最值問題，將被求解函數轉化為一階導數性質，設求導后的等式值為0，即可求得該函數的極大值與極小值，隨后通過針對一階求導后的函數進行二階導數的求解，將極值代入二階導數函數內，便可以針對極值的正確與否進行判斷，在此過程中需特別考慮到自變量取值范圍問題，保證求取結果的準確性。此外，還可以利用數學模型作為輔助工具，將運籌學問題轉化為高等數學中的最值問題，進而求得最終解;倘若該數學模型內涵蓋多個自變量，還可以利用高等數學中的多元函數知識，借助偏導數的方式進行求解。

由此便可以判斷拉格朗日乘子點擊并拖拽以移動為該線性規劃問題對偶規劃的最優解。將其應用在經濟領域主要表現為“影子價格”，用以衡量市場經濟條件下的資源狀況，倘若影子價格高于資源市場價格，企業應實施買進策略;當影子價格低于資源市場價格時，則應將現有資源賣出，用以發揮對市場的調節作用。

4 結論

在當前的高校教育體系下，高等數學作為一門基礎性學科能夠為大學生的后續專業課程學習與未來發展打下良好基礎，也為運籌學的實踐應用提供重要理論與方法論支持。因此我們務必要強化高等數學與運籌學知識的融匯貫通，利用高等數學知識與思維解決運籌學問題，進一步強化學科應用價值。

（作者單位：上海師范大學奉賢校區）