由橢圓張角為直角的弦所在直線形成的“包絡”

廣東省中山紀念中學(528454) 李文東

一族平面直線(或曲線)的“包絡”是指一條與這族直線(或曲線)中任意一條都相切的曲線,這條曲線叫做這族直線(或曲線)的包絡線.文[1]中探討了由橢圓=1(a＞b＞0)內對稱軸上一點P引兩垂直直線PA,PB分別交橢圓于點A,B,得到了動直線AB形成的包絡曲線方程,并且對于橢圓內任意一點P(x0,y0)(原點除外)的包絡線情形給出了一個猜想:

包絡線是以P(x0,y0)和為焦點,長軸長為的橢圓,但是沒有給出證明和具體的包絡線方程.

本文對于上述結論給出證明并將此結論推廣到點P(x0,y0)為平面內任意滿足條件PA⊥PB的情形,其推導和證明過程如下:

一、運用齊次化手段推導動直線滿足的條件

二、利用對稱點推導動直線的包絡線

首先給出如下引理:

引理設圓M的半徑為r,點A為圓M上一動點,點N為不在圓M上一定點,線段AN的垂直平分線為l,l交MA（或其延長線）于點P,則

(1)當點N為圓M內一定點時,垂直平分線l的包絡線即點P的軌跡是以點M,N為焦點,長軸長為r的橢圓;

(2)當點N為M外一定點時,垂直平分線l的包絡線即點P的軌跡是以點M,N為焦點,長軸長為r的雙曲線.

證明以橢圓為例.如圖1,由題意:|PA|=|PN|,故|PM|+|PN|=|PA|+|PM|=|AM|=r＞|MN|,由橢圓的定義知:點P的軌跡是以點M,N為焦點,長軸長為r的橢圓.

圖1

以下證明直線l與橢圓相切.設點Q為直線l上異于點P的任意一點,則|QM|+QN|=|QA|+|QM|＞|AM|=|PM|+|PN,即點Q在橢圓外,故點P為直線l與橢圓的唯一公共點,即直線l與橢圓相切于點P.證畢.

(1)若m = 0,即點P(x0,y0)為橢圓上一點,則2b2x0A+2a2y0B+a2+b2=0,即Ax0+=Ax0+By0+1,而直線AB的方程為Ax+By=Ax0+By0+1,聯立可得:By0=Ax+By,即可見此時直線AB過定點

(i)若點P(x0,y0)為橢圓=1(a＞b＞0)內除原點外任意一點,即且則

從而

即點P(x0,y0)在Q(x,y)的軌跡方程圓內,從而由引理可知,MQ與直線AB的交點,即直線AB的包絡線是以和P(x0,y0)為焦點,長軸長為的橢圓(如圖2);

(ii)若點P(x0,y0)在橢圓=1(a＞b＞0)外,且滿足＞0,即點P(x0,y0)在橢圓的蒙日圓x2+y2=a2+b2內,由引理可知此時直線AB的包絡線是以和P(x0,y0)為焦點,實軸長為的雙曲線(如圖2).

圖2

圖3

(iii)若P為原點,即x0=y0=0,此時包絡線為一個圓,其方程為:

三、包絡線的統一方程

根據第二部分的推導,根據圓錐曲線的定義,我們可以得到包絡線的統一方程為:()x2+-2a2b2x0y0xy-2a2b2x0(t-b2)x-2a2b2y0(t-a2)y-=0.其中

限于篇幅,具體推導過程留給感興趣的讀者!