速算三角

蘇嘉煒

也許，很多人都曾經幻想過自己在《哈利·波特》的魔法世界里，成為一名出色的巫師，能操縱厲害的法器，擊退來犯的勁敵。但你可曾想過，在數學世界里，也存在著許多令人稱奇的“神兵利器”，本期魔術師所使用的“楊輝三角”便是其中之一。讓我們屏住呼吸，一同來見證魔術師如何借助它，來呈現“一秒速算”的奇跡。

魔術道具：紙和筆

魔術步驟：

魔術師向觀眾展示出了一張紙板，上面有一個由許多數組成的三角形。魔術師請觀眾圈出一個小三角形，并且三角形頂點上的數必須為1。此時，只見觀眾圈出了如圖所示的小三角形中的一條斜邊。斜邊上的數為“1，3，6，10，15，21”。

魔術師宣布演出即將進入激動人心的環節。他向觀眾表示，只需要一秒鐘，他就可以算出斜邊上的數字之和為多少。緊接著，魔術師就微微一笑說出了答案：“56?！?/p>

魔術師請臺下觀眾動筆，驗證一下自己所說的計算結果是否正確。在數十秒的計算過后，觀眾們發現自己算出的答案與魔術師速算得到的結果相同。臺下瞬間開始沸騰，片刻后掌聲雷動。

為了讓觀眾再度一睹這個魔術的魅力，魔術師拿出另一張紙板，并在上面畫了一個更大的三角形。這個三角形與上一個三角形對比，行數由8行增至9行。之后，魔術師請觀眾重新圈出一條斜邊。

在觀眾向魔術師展示了所圈出的斜邊上的數“1，2，3，4，5，6，7，8”后，魔術師僅花一秒，便不負眾望地得出了結果“36”。至此，魔術師的精彩表演贏得了觀眾們的陣陣驚呼。

揭秘時刻

相信此時的你在驚嘆魔術表演的神奇之余，也對其背后的原理無比好奇吧？讓我們一同來探個究竟吧！

以1為端點作一個三角形，假設左側斜邊另一個端點上的數為大三角形的第i行的第j個數，那么左側斜邊上所有的數之和，就等于大三角形的第i+1行的第j+1個數，或者第i行的第j個數與第i行的第j+1個數的和。而對于右側斜邊來說，斜邊上所有的數之和為大三角形的第i+1行的第j-1個數，或者第i行的第j個數與第i行的第j-1個數之和。

舉個例子，如圖所示的斜邊上的一個端點為“6”，它是第7行的第2個數，那么這條斜邊上的數之和，就是第（7+1）行第（2+1）個數，也就是“21”。