淺析函數型綜合題的解題策略

黃江泉

【摘要】函數型綜合題是各地中考試題中最基本、最常見的綜合題，它不僅是知識的綜合，一道題目中往往綜合考查函數、幾何等知識，而且是方法的綜合，同一道題目往往綜合考查初中數學的各種方法。函數型中考綜合題的常見解題策略有巧妙轉化、合理分類、數形結合、方程為橋等。

【關鍵詞】函數;綜合題;解題策略

函數型綜合題是各地中考試題中最基本、最常見的綜合題，它不僅是知識的綜合，一道題目中往往綜合考查函數、幾何等知識，而且是方法的綜合，同一道題目往往綜合考查初中數學的各種方法。因此，探索函數型綜合題的解題策略，對提高學生的綜合解題能力和義務教育質量有著十分重要的意義。

下面結合近年各地中考，具體分析函數型綜合題的基本解題策略。

一、巧妙轉化，化難為易

轉化思想是初中數學最基本的思想，復雜問題向簡單問題轉化，陌生問題向熟悉問題轉化，是數學解題的基本策略和方法。函數型綜合題的解題策略更是如此，不僅要善于把問題轉化，如面積最大值問題轉化為底邊（即線段）的最大值問題，周長最小值問題轉化為最短路程，全等或相似問題轉化為角的相等問題進而轉化為邊的比問題等;而且要善于把方法轉化，如把點的坐標轉化為線段的長度，再把線段的長度轉化為方程，這些都是解決函數型綜合題的基本方法。

例1（2015廣西貴港）：如圖1，拋物線與軸交于點 和點，與軸交于點C，其對稱軸為.

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標.

（2）若動點在第二象限內的拋物線上，動點在對稱軸上：

①當，且時，求此時點的坐標.

②當四邊形的面積最大時，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標.

思路分析：問題②的基本思路是把求四邊形面積的最大值轉化為求一條線段的最大值，即過作軸的平行線與相交所得線段的最大值即可。

例2（2016廣西貴港）：如圖2，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.

（1）求該拋物線的解析式.

（2）若點為軸下方拋物線上的一動點，當時，求點的坐標.

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的橫坐標;若不存在，請說明理由.

思路分析：問題（3）的基本思路是把角相等的問題轉化為線段的比，即過作于，過作軸于，要使，只需要引入點坐標并轉化為相關線段的長度代入，即可把問題解決。

例3（2017江蘇鹽城改編）：如圖3，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點，與軸的另一交點為點.

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）點為直線上方拋物線上一動點：

①連接、，設直線交線段于點，△CDE的面積為，△BCE的面積為，求的最大值.

②拋物線上是否存在點，使得？若存在，求點的橫坐標;若不存在，請說明理由.

思路分析：問題（2）①中，△CDE和△BCE是等高三角形，因而首先要把面積比轉化為對應底邊的比，即，觀察發現，過作軸的平行線交于，則為定值，故想到過作軸的平行線交于，則;于是，求的最大值就轉化成了求DM的最大值了，這就是我們比較熟悉的問題了。

在（2）②中，要使得，過作軸的平行線交拋物線于，則，故只要，就有.設點坐標為，則問題轉化為，問題即可解決。

解題中，能否一步步實現這樣的轉化，就是解題的突破口和關鍵了。

二、合理分類，逐一擊破

分類討論思想也是初中數學最重要的思想，很多問題都同時存在多個不同的情況，這個時候就要對各種情況進行分類并逐類解決，才能得出問題的全部結果。很多函數型綜合題都包含多個未知情況，因此，分類討論是解決函數型綜合題的關鍵。

如例3中，“△BCD是直角三角形”就有三種情況：或或，只有進行分類討論、排除，才能得出正確、完整的答案。

例4（2018廣西貴港）：如圖4，已知二次函數的圖象與軸相交于、兩點，與軸相交于點.

（1）求這個二次函數的表達式.

（2）若是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，軸于點，與交于點，連接.

①求線段的最大值.

②當△PCM是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標.

思路分析：問題（2）②中，“△PCM是以為一腰的等腰三角形”包含了兩種情況：和，如果不進行分類討論，就無法得出結果。

例5（2019廣西貴港）：如圖5，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，對稱軸為直線，點是線段的中點.

（1）求拋物線的表達式.

（2）寫出點的坐標并求直線的表達式.

（3）設動點、分別在拋物線和對稱軸上，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求、兩點的坐標.

思路分析：問題（3）中，“以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形”也有兩種可能：是平行四邊形的一條邊和是平行四邊形的對角線，必須進行分類討論。

三、數形結合，避繁就簡

數形結合是在解決數學問題的過程中，把圖形性質轉化成數量關系或者把數量關系用圖形的性質來表示，使問題更簡單更直觀，以利于問題的解決。數形結合往往可以將問題簡單化，因而是解決函數型綜合題的重要橋梁。

如例2中，在求的長度時，充分運用圖中隱含的等腰直角三角形的性質就比較簡單。

例4中，在求的長度時，固然可以用代數方法解決：先設點坐標為，然后求出的解析式，再求出點坐標，進而求出。但充分利用圖中的幾何性質，問題就會更簡單。事實上，△BOC是等腰直角三角形，因而，而，這樣求就更簡單了。

例5中，當是平行四邊形的一條邊時有，但如果直接用這個條件列方程解決，問題就比較復雜;而充分利用圖形平移的性質來考慮，點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，同樣，點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，即，，這樣問題就簡單了。

例6（2013四川）：如圖6，在平面直角坐標系中，點、在軸上，點、在軸上，且，，拋物線經過、、三點，直線與拋物線交于另一點.

（1）求這條拋物線的解析式.

（2）為拋物線上一動點，為直線上一動點，是否存在點，使以點、、為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點的坐標;若不存在，請說明理由.

思路分析：問題（2）中，充分運用特殊圖形的性質，問題也異常簡單。先分類，當為直角頂點時，設與軸交于，則△AOF為等腰直角三角形，故點坐標為，的解析式為，聯合方程組即可求得點坐標;當為直角頂點時，則，此時只能與重合;當為直角頂點時，很容易看出也只能與重合。

【參考文獻】

馮璽.挖掘數學本質 凸顯育人價值——對近年寧夏中考試卷中二次函數綜合題的幾點思考[J] .初中數學教與學，2018（16）：34-36.

余麗，朱昌寶.中考二次函數綜合題賞析[J] .數理化學習（初中版），2007（11）：28-30.