2種非對稱廣義高斯分布模型的構造

汪太月，戴燕青

(1.湖北工業大學 理學院，湖北 武漢 430068;2.湖北理工學院 數理學院，湖北 黃石 435003)

在通常的信號分析與處理中，大多數信號被假定為高斯分布(即正態分布)[1].但是，在實際的信號處理問題中，很多隨機過程都是服從廣義高斯分布(Generalized Gaussian Distribution,GGD)的.GGD在高斯分布的基礎上增加了自適應系數，是高斯分布的拓展形式，且二者都是嚴格對稱的分布[2].以GGD為特例的非對稱廣義高斯分布(Asymmetric Generalized Gaussian Distribution,AGGD)突破了對稱性的限制，在處理不對稱數據樣本時更為靈活.相對高斯分布而言，GGD和AGGD所研究的對象更為復雜，經常被用于圖像/視頻信號處理及統計分析之中，其形狀參數常被作為圖像的特征進行分類或回歸.例如，在基于變換域的數字圖像處理中，小波變換[3]的系數、離散余弦變換的交流系數[4]都可用GGD或AGGD來擬合.在盲源分離及獨立成分分析過程中[5]，將GGD或AGGD作為信號源的分布及評價函數也是合理的.此外，根據對實際觀測數據的分析和研究，某些非高斯噪聲[6]都可以采用它們來進行模擬.相比廣義高斯分布而言，如同非對稱高斯分布一樣，非對稱廣義高斯分布突破了對稱性的束縛.因此，在數據挖掘及信號處理的實際應用中，采用AGGD分析和建模更為合理，靈活性更強，適用范圍也更為廣泛.

1 非對稱高斯分布模型

高斯分布是一種最常見的連續型隨機分布，在概率論與數理統計的理論研究及實際應用中都占有非常重要的地位.在實際問題中，如果某個隨機變量受到許多相互獨立的隨機因素影響，而每個隨機因素都不能起決定性作用，那么就能斷定該隨機變量服從或近似服從高斯分布，如工件的測量誤差；氣象學中的溫度及濕度；醫學現象中同質群體身高、體重、紅細胞數、血紅蛋白量、膽固醇等.隨著研究的深入，高斯分布在誤差理論、產品檢驗、質量控制、質量管理、無線電噪聲等領域中都有著廣泛的應用[7].

圖1 高斯分布概率密度函數曲線(μ=0)

由圖1可以看出，如果固定μ，改變σ2的值，則σ2愈小，曲線呈高而瘦；σ2愈大，曲線呈矮而胖.這說明高斯分布的概率密度函數的尺度由參數σ所決定，因此亦稱σ為尺度參數.

(1)

當式(1)中的Nl和Nr分別表示xk<μ和xk≥μ的樣本容量時，模型可表示為：

(2)

左右方差與偏斜程度之間有著密切的聯系，偏度系數能用來量化非對稱的概率密度函數的偏斜程度，即三階參數為[8]：

(3)

偏度系數能刻畫數據分布的偏斜程度及方向，很好地反映分布偏離對稱性的程度.若該系數為0，則表示數據分布嚴格對稱；若呈右偏態(負偏態)分布，即右尾長，該系數就大于0；若呈左偏態(正偏態)分布，即左尾長，該系數就小于0.

2 廣義高斯分布模型

源于廣義Gamma分布的廣義高斯分布是一種應用廣泛的對稱隨機分布，可視為高斯分布的推廣形式.Laplace分布是其特例，而連續型均勻分布和單位脈沖函數是其極限形式.廣義Gamma分布的概率密度函數為[9]：

(4)

(5)

(6)

為簡化計算，常?？紤]μ=0的情形.

當α<2，為超高斯分布；α>2，為亞高斯分布[13].

3) 當α→0時，有Kurtosis>3，此時GGD的概率密度函數趨于δ函數，即：

4) 當α→∞時，GGD趨于均勻分布.

μ=0，σ=10，α分別為2，1，0.7，100的概率密度函數曲線如圖2所示.

圖2 不同參數α的GGD概率密度函數曲線(μ=0,σ=10)

3 非對稱廣義高斯分布模型的構造

3.1 左右兩邊的方差σ2不同產生的非對稱

廣義高斯分布族可用來描述可變尾長的對稱分布.但對于非對稱分布，就需要對GGD進行改進，構造出AGGD.前面我們用左右方差代替方差得到非對稱高斯模型，于是，采用類似方法來建立AGGD模型，從而得到其概率密度函數表達式：

(7)

為研究分布的離散程度及峰值附近的陡峭程度，由式(7)所確定的非對稱廣義高斯分布隨機變量的方差及其四階矩分別為：

(a) α=0.7

(b) α=2

(c) α=10

(d) α=100

3.2 由2個不同密度函數產生的非對稱

不失一般性，考慮μ=0的情形.令AGGD概率密度函數fagg的右半軸部分為GGD的概率密度函數fgg(x;αr,βr)的右側，左半軸部分為GGD的概率密度函數fgg(x;αl,βl)的左側，即：

(8)

fgg(0;αr,βr)=fgg(0;αl,βl).

即：

代入式(8)得：

(9)

根據概率密度函數的正則性，有:

于是，可得到AGGD概率密度函數fagg的矩：

不同參數αl,αr的AGGD概率密度函數曲線如圖4所示.由圖4可知，若αl,αr中有一個參數不大于2，則概率密度函數曲線在μ=0處就不光滑，即μ=0是此模型構造的AGGD概率密度函數的奇異點.

(αl=0.7,αr=0.2)

(αl=0.7,αr=4)

(αl=3,αr=1)

圖4 不同參數αl,αr的AGGD概率密度函數曲線

4 結束語

非對稱形式的廣義高斯分布是一類較廣義高斯分布更為復雜的分布形式，是廣義高斯分布的延續和推廣.利用GGD左右兩邊的方差不同及2個不同GGD概率密度函數在交接點處連續構造了AGGD模型，突破了高斯分布及廣義高斯分布對稱性的限制，減少了理論研究中的過多假設.在數據采集與處理、變換域圖像分析、降噪去噪等應用領域，采用AGGD分析建模靈活性更強，適用性也更好.今后將進一步對其統計性質進行深入研究.