基于多元正態分布的飛秒激光燒蝕光斑質心提取

王福斌,劉夢竹,劉金旺

(華北理工大學電氣工程學院,河北 唐山 063210)

1 引 言

飛秒激光[1]憑借脈沖寬度短、峰值功率高、熱效應小、加工分辨率高等區別于長脈沖激光的優勢,在微加工領域展現出了強大的生命力。激光加工單晶硅的過程中,單晶硅表面獲得能量,使得表面粒子速度增大[2],進而導致材料表面的形態發生變化,進而導致燒蝕現象的發生[3-4]。近些年,飛秒激光的加工受到廣泛關注,在制造領域我們最關心的就是調整激光參數來改善材料的加工質量,由此,對光斑的空間特性分析提出了越來越高的要求[5]。

針對當前激光光斑圖像質心檢測方法存在抗干擾能力差、檢測精度低等缺陷,本文主要工作為采集飛秒激光燒蝕過程中的等離子體光斑序列圖像,對光斑圖像的質心進行提取,研究光斑質心隨時間變化的物理運動規律,為后續實現基于光斑圖像的飛秒激光微加工控制提供研究基礎。

光斑灰度由中心向外逐漸衰減,沒有清晰的光點邊緣,提取質心一般采用基于灰度分布的方法,充分利用發光點圖像中每個像素的灰度值。加工過程中,由于受到噪聲的影響,光斑的灰度峰值可能發生偏差,提取誤差較大,由此引入多元正態分布的極大似然法估計質心,在精度方面得到了很大的改善。

2 基于多元正態分布的光斑質心提取過程

2.1 光斑質心提取方案

若光斑圖像的三維灰度特征近似服從高斯曲面分布,曲面中心像素點的灰度值就是此峰的最大值[6],用高斯曲面擬合法求取光斑質心,有較高的定位精度,同時具有較高的穩定性,但是計算量大,又由于受到噪聲的影響,灰度峰值可能發生偏差,這給光斑質心的提取帶來不便。

因此,采取一些措施來彌補不足,提取方法如下所示:

2.2 光斑質心提取方法

2.2.1 灰度質心法

灰度質心法[7-8]可以看作是以灰度為權值的加權型方法,首先,將飛秒激光光斑圖像進行預處理,消除噪聲,然后提取光斑質心。光斑質心的計算方法為:

(1)

灰度質心法計算方便快捷,但受噪聲影響較大。

2.2.2 多元正態分布的極大似然估計

圖1 光斑質心定位

圖2 光斑圖像的灰度特征

(2)

式中,(μ1,ν1)為質心坐標；σ為二維高斯函數的均方差；A為固定系數,可認為等于光斑質心亮度值。

考慮到光斑的x方向和y方向分別呈現不同的的σ值[10],則式(2)可轉化為:

(3)

兩邊取對數得:

(4)

可將式(4)看作x和y的二次函數:

lnf(xi,yi)=t0x2+t1y2+t2x+t3y+t4

(5)

展開可獲得5個參數:

(6)

求解5個參數是提取質心坐標的關鍵。因此,選取至少5個像素參與計算(本文選取6個像素點),令:

(7)

則可得Y=AB,對此方程求最小二乘解得到B=(ATA)-1ATY,即:

(8)

可得此高斯曲面擬合的質心坐標為(μ1,ν1),依次求取其他五個高斯曲面擬合的質心,以x方向為例,以這六個質心點作為最優點去擬合最優的高斯曲面:

(9)

多元正太分布的密度函數可表示為:

(10)

在各維度相互獨立的情況下,多元正態分布的概率密度其實就是各個維度的正態分布密度函數的乘積。

3 仿真實驗

3.1 三種方法的標準差比較

由于光斑圖像真實的質心位置無法求得,所以不能使用各種質心提取法求得的質心坐標比較各自的精度。任何方法的質心提取坐標值都會產生誤差,且在不同幀的光斑圖像中誤差會隨機產生,對同一光斑圖像來說,在多幀圖像中提取的質心坐標隨誤差的增大會越加分散,以至于產生更大的誤差。因此選取40幀圖像,用同種方法提取質心,求得標準差d去比較各個方法的優劣,如式(11),標準差越小則精度越高。

(11)

灰度質心法可以看成是以灰度為權值的加權方法,要獲得較為精確的質心坐標,光斑圖像的灰度特征需在各個方向上對稱,事實上,由于飛秒激光燒蝕光斑圖像有一定的拖尾現象,因此使用該算法產生誤差較大:d1=6.2712；

光斑圖像的灰度分布近似于高斯曲面分布,用高斯曲面擬合法進行質心定位,可以較好的降低噪聲對計算結果的影響,有較高的定位精度及穩定性[11-12],常用此方法求取質心,但由于受到噪聲的影響[13],光斑的灰度峰值可能發生偏差,提取誤差較大:d2=4.7115；

多元正態分布的極大似然法估計質心,在灰度質心法的基礎上從多個方向擬合高斯曲面,在計算量和精度方面都得到了很大的改善,其標準差為:d3=2.1524；

三種方法的標準差如圖3所示。

圖3 三種方法的標準差

3.2 質心坐標分析

由多元正太分布的極大似然法估計出40個光斑圖像的質心,質心坐標的分析如圖4和圖5所示,分別畫出標準差同質心行坐標和列坐標的關系。圖4中,橫坐標為40個圖像的質心行坐標,縱坐標為每個行坐標所對應的標準差。圖5中,橫坐標為40個質心列坐標,縱坐標為每個列坐標所對應的標準差。各自都呈現出V形,標準差隨著坐標增大慢慢減小,到達一個節點之后隨坐標增大而增大。

圖4 行坐標與標準差之間的關系

圖5 列坐標與標準差之間的關系

用40個質心行坐標和40個列坐標減去其平均值求取殘差,分別觀察殘差隨行坐標和列坐標的變化,如圖6和圖7,殘差和對應的坐標值呈線性關系。

計算40個質心坐標的概率密度估計,繪制出概率密度曲線,如圖8,橫坐標為40個質心行坐標,縱坐標為行坐標所對應的的概率密度估計值。圖9中,橫坐標為40個質心列坐標,縱坐標為列坐標所對應的的概率密度估計值。兩個函數都近似服從正態分布。

圖6 殘差隨行坐標的變化情況

圖7 殘差隨列坐標的變化情況

圖8 行坐標的概率密度估計

圖9 列坐標的概率密度估計

4 結 論

鑒于灰度質心法簡單明了,計算速度快,但抗干擾能力差,高斯曲面擬合法有較高的定位精度,同時具有較高的穩定性,但是計算量大,又由于受到噪聲的影響,灰度峰值可能發生偏差,引入了多元正態分布的極大似然估計法。比較于傳統的質心定位方法,多元正態分布的極大似然估計法在灰度質心法的基礎上估計質心,通過在多個方向擬合高斯曲面,克服了計算量大以及灰度峰值有偏差的難題,能夠擬合出最優的高斯曲面來求取質心。其標準差相較于高斯曲面擬合法的標準差來說減小了2.5591,在精度方面得到很大的改善,同時又分析了序列光斑圖像的質心坐標分布的規律,為后續實現基于光斑圖像的飛秒激光微加工控制提供研究基礎。