初中幾何教學“最值”的解法

曲祥春

摘要：中考幾何最值問題屬于綜合題的一個難點，其所涉的知識面廣，綜合性強，題型新穎，較好地考查出學生對知識點的理解、領悟能力偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經過的最短路程是I解析丨圓錐的側面展開圖是1/4和創新能力以及數學核心素養的培養。在解題教學中，要高度重視此類數學問題的基本模型，導向通過建模的過程，讓學生深刻體會基本模型對解題的重要性。

關鍵詞：初中數學;最值基本模型

幾何中的最值問題屬于中考題型中的熱點，也是難點。教學中發現，學生在解決此類問題時，主要有兩方面的困難：一是對解決此類問題的常用的幾種數學模型理解不到位;二是此類問題常以動態問題形式出現，學生由于難以掌握運動中的數量關系而導致無法入手。

解答此類幾何最值問題主要依據的定理：（1）兩點之間，線段最短;（2）直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短;（3）三角形任意兩邊之和大于第三邊或三角形任意兩邊之差小于第三邊（三點共線時取得最值）。最值問題是近年來中考常見的題型，根據不同的題型特征，建立模型，依據上述定理從而解決問題。下面結合部分教學實例談談解決此類問題的方法。

—、基本模型

1、兩點之間，線段最短例1：如圖1，有一個圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長為6cm的正三角形，母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經過的最短路程是__。

【解析】圓錐的側面展開圖是1/4圓，根據兩點之間，線段最短，確定起點和終點，從而由勾股定理求出答案。由扇形弧長公式知，可得

。

2、垂線段最短

例2：如圖2，在RtAABC中AB=10，ZBAC=45°，ZBAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值__。

【解析】首先找出點B關于直線AD的對稱點B'，因為AD為ZBAC的平分線，所以B'在斜邊AC上且AB、AB，再過點B'作B'F丄AB，垂足為F，交AD于E，連結BE，則線段B'F的長即為所求.（點到直線的距離垂線段最短）在Rt△AFB'中，∵BAC=45°，AB'=AB=10，，。

3、三點共線

例3：如圖3，ZMON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為（ ）。

【解析】取AB的中點E，連接OE、DE、OD，根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知：當0、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，，。故選A。

二、常用方法

1、軌跡法

對于線段最值問題，若線段的一端點是定點，另一端點是動點，可以考慮軌跡法，即考慮動點的軌跡.若動點的軌跡是一條直線，可以用“垂線段最短”原理解決;若動點的軌跡是圓（或一段圓?。?，可以用“圓最值模型”解決。

例4：如圖4，已知平行四邊形OABC的頂點A，C分別在直線x=l和x=4上O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為__。

【解析】如圖4，設直線x=l和x軸交于點E.作BF丄直線x=4點F，因為平行四邊形OABC，所以OA和BC平行且相等，可得厶AOE和ACBF全等，所以OE=BF，可得點B的軌跡是直線x=5.當點B在x軸上時，OB丄直線x=5，此時OB最小，最小值為5。

圓最值模型：如圖5，P是〇0外的一點，直線PO分別交〇O于點A，B，則PA是點P到〇O上的點的最短距離，是點P到〇〇上的點的最長距離。

證明：如圖5，在〇0是任取一點C（不為A，B），連結PC，OC。

QPO

如圖6，在〇0是任取一點D（不為A，B），連接PD，OD。

QP〇+OD>PD，PB=PO+OB=PO+OD，...PB>PD，即PB是點P至IJ〇0上的點的最長距離。

例5：如圖7，RtAABC中，AB丄BC，AB=6，BC=4，P是厶ABC內部的一個動點，且滿足ZPAB=ZPBC，則線段CP長的最小值為（）。

【解析】根據ZPAB=ZPBC，可得ZAPB=90°，故點P在以AB為直徑的圓上（如圖4）取的AB中點0，OC交〇0于點P，根據圓最值模型知，此CP時最小。

QOP=+AB=3，OC=5，CP的最小值為OC-OP=5-3=2。選B。

2、轉化法對于線段最值問題，若線段的兩個端點都是動點，可以考慮運用轉化法，將它轉化為求與之有關的另一條線段的最值。

例6：如圖8，在等邊AABC中，AB=4，點P是BC邊上的動點，點p關于直線AB，AC的對稱點分別為M，N，則線段MN長的取值范圍是_____。

【解析】如圖8，連結AP，AM，AN，由對稱可得AP=AM=AN，ZBAP=ZMAB，ZCAP=Znac，ZMAN=2ZBAC=120。厶AMN是頂角為120°的等腰二角形，可得MN=V5AM=V5AP.于是求線段MN長的取值范圍，就轉化為求線段AP長的取值范圍.AP最小為AP垂直BC時，最大為AB，AP的取值范圍是2VI

3、函數法

當線段最值問題從幾何角度很難求解的時候，可以考慮引入參數，建立函數模型，用函數法來解決。

例7：如圖9，在AABC中，AB=AC=，BC=2，點P是AB邊上的動點（不與點A，B重合）.過點P作PE//BC交AC于點E，作PF丄BC于點F，連結EF，M是EF上的點，且EM=2FM，則PM的最小值是_。

解析1由條件“AB=AC=，BC=2”可知AABC是確定的，tanB=2;又根據作圖可知△PBF形狀也是確定的，并且有PF=2BF.所以，分析可得PM的大小取決于BF的大小，所以引入參數。

，化簡得。所以當時，PM有最小值，最小值為。

在最值問題的教學中要注意重視引導學生分析題意，注重基本模型，讓學生深刻體會不同類型的題目最終都可以化歸為幾個簡單的模型，從而能較為輕松的解決相關問題。

參考文獻：

[1]淺談一類動點問題最值的求法[J].符振勇.數學學習與研究.2018（22）

[2]最值常求方法要優[J].彭現省.數理化學習（初中版）.2018（12）

[3]對一道幾何題的解法探究及思考[J].丁堅鋒.數學教學通訊.2018（11）