灰色模型在路基沉降預測中的研究及應用

張滿想， 趙健， 郭昕， 龍健

(長沙理工大學 交通運輸工程學院， 湖南 長沙 410114)

灰色預測理論是路基變形監測分析與預報理論中的重要組成部分，已廣泛應用于各種工程變形監測預測。實際應用中，國內外學者提出了不少的優化方法來提高模型的精度，并指出：GM(1,1)、Verhulst分別適宜短期和中長期預測。但在實際操作時發現，灰色理論中“盡可能多地引入確定的實測數據”并不一定會提高模型的預測精度且實際操作中“盡可能的多”具體指幾組數據也無明確界定，同時兩種模型的適用時間并無明確的界限，這就為實際操作帶來了困擾。

該文針對實際應用中遇到的上述問題，以湖南益馬高速公路實測路基沉降數據為研究對象，分析兩種模型下該組數據的最佳維度以及模型的適用時間；最佳維度的研究既能減少運算工作量同時也能提高兩種預測模型的預測精度；模型的適用時間研究會明確兩種模型的適用范圍，進而更好地指導沉降預測工作。

1 工程概況

益馬高速公路(益陽至馬跡塘高速公路)第3合同段K25+700～K25+810路段全長110 m，屬半填半挖路段，一級坡率為1∶1.75，二級坡率為1∶1.5，填方側原位置為軟土地基，軟土主要為塑狀黏性土，厚度一般<3.0 mm。沿線屬亞熱帶季風濕潤性氣候，水系較發育，所經地域降雨充沛，地質主要由變質石英砂巖、砂質板和石英砂巖組成。其路基橫斷面示意圖如圖1所示。

圖1 路基橫斷面示意圖

為保證車輛能夠安全行駛于該試驗段，同時了解路基沉降的變化情況，在試驗段臨近坡體位置處設置觀測點進行路基沉降監測(圖1)。監測頻率為每個月不少于2次，并于2017年3月7日開始第1次監測。其路基沉降速率如圖2所示。

圖2 路基沉降速率圖

由圖2可知:益馬高速公路第3合同段K25+700～K25+810路基沉降速率大多數為0.6 mm/周以下，路基處于穩定狀態，但最后一周的路基沉降速率是前一次監測沉降速率的3～4倍，路基沉降速率發生突變；為保證路基后期的穩定狀態，需要對該路基進行長時間的監測，詳細掌握該路基沉降變化狀況。

2 灰色模型預測方法及效果檢驗

2.1 灰色模型預測方法

灰色模型一般是通過時間序列在時間數據平面上的連續曲線或逼近曲線與時間軸所圍成的區域為基礎，利用系統部分已知信息，以微分擬合而建成的模型，兩種預測模型的表現形式一般為指數形式和S形曲線，灰色模型計算過程如下：

設非負離散數據序列：S(0)={s(0)(1),s(0)(2),…,s(0)(n)},對S(0)進行一次累加得到：S(1)={s(1)(1),s(1)(2),…,s(1)(n)}，灰色預測模型的微分方程如式(1)、(2)所示。

灰色GM(1,1)預測模型的微分方程為：

(1)

灰色Verhulst預測模型的微分方程為：

(2)

(3)

則灰色GM(1，1)預測模型的時間響應序列為：

(4)

則灰色Verhulst預測模型的時間響應序列為：

(5)

運用上述灰色模型預測方法對路基沉降的實測值進行處理，達到研究維度和確定兩種模型預測時間的目的。具體步驟如下：

(1) 灰色模型計算

采用兩種灰色模型對實測數據進行運算，計算得出不同維度的擬合公式。

(2) 最佳維度分析

對比不同維度擬合公式的關聯度和擬合誤差，初步確定最佳維度；通過選取的最佳維度進行兩種模型的預測運算，根據其預測效果判定最佳維度的合理性。

(3) 模型的預測時間分析

通過步驟(2)確定模型的最佳維度，在此基礎上計算模型長時間的預測值，通過對比確定模型的預測時長。

2.2 模型效果檢驗

后驗差檢驗法是一種求殘差分布統計特征的計算方法。計算出的c值為殘差標準差與觀測值標準差之比，用于判定兩者變異程度大??；變異程度，即最大和最小的觀測值之間的差距，若變異程度越接近，則預測值與觀測值的擬合相似程度越高，預測方程越精確。后驗差檢驗步驟如下：

(6)

(7)

式中：n′為q(k)中非零殘差的個數，n′

(8)

(9)

(4) 計算后驗差比值c：

(10)

(5) 根據計算結果，對照表1中的指標，評定模型的精度等級。

表1 模型預估精度等級評定標準

3 灰色理論模型計算

3.1 最佳維度研究

取該觀測點實測數據，進行最佳維度研究。該文以觀測點的實測數據為依托，取123～257 d的實測數據，如表2所示。

由于現場實測的路基沉降數據是非等時距的，所以在建模之前要進行等時距的處理，利用拉格朗日插值定理計算等時距各天的沉降值(取兩位小數)，具體數值見表3。

表2 斷面實測數據

表3 處理后的等時距各天沉降值

采用灰色GM(1，1)和灰色Verhulst模型對斷面觀測點監測數據進行建模分析，首先根據表3實測數據進行維度劃分，按照監測數據的時效性，選擇最臨近監測時間的數據進行不同維度的模擬計算，通過精度檢驗，確定最佳維度。根據式(6)～(10)計算出c值，不同維度下的后驗差檢驗結果如表4所示。

表4 后驗差檢驗c值

由表4可知：

(1) 通過后驗差方法檢驗發現，GM(1，1)、Verhulst預測模型在7～14維度間的c值先增大后減小，同時c值都小于0.35，預測精度優；維度處于9時c值最大，7～9維度的c值變化速率要高于9～14維度c值的變化速率；同時發現，Verhulst預測模型的c值相比于GM(1，1)預測模型的c值較小，模型精度高于GM(1，1)模型。

(2) 灰色GM(1，1)、Verhulst模型不同維度方程在維度為7時c值最小，模型精度較高，同時維度計算工作量最小。因此選取7組數據進行方程擬合，工作量較小同時效果較好。

3.2 模型預測效果檢驗

采用GM(1，1)和Verhulst模型分別對243、253 d的沉降值進行預測，結合表3中的監測數據確定模型的預測維度最大值為13，預測結果如表5、6所示。

表5 不同維度下GM(1，1)預測結果與實測結果對比

表6 不同維度下灰色Verhulst模型預測結果與實測結果對比

結合模型檢驗分類等級表對模型精度進行分析，按取值的大小，預測模型的精度等級可分為 一級(好)、二級(合格)、三級(勉強)和四級(不合格)，取值標準見表7。

表7 模型精度檢驗等級分類

由表5、6可知：

(1) GM(1，1)模型預測過程中隨著維度的增加其預測精度都有所降低，擬合誤差增大；而Verhulst模型在預測過程中精度會出現回升的現象，但整體來看該模型也是隨著維度的增加其預測精度都有所降低，擬合誤差增大；在維度為7～13時，兩種模型都是維度為7時預測值精度最大，擬合誤差最小。

(2) 從兩種預測模型的精度對比可以看出：Verhulst預測模型的精度要高于灰色GM(1，1)模型；又因灰色GM(1，1)擬合公式為指數形式，與實際路基沉降情況不符合，同時由表5可知，在采用灰色模型GM(1，1)預測時會在未來一定時間內出現無效性數據。

4 預測時間研究

根據上述最佳維度研究和預測效果檢驗可知：兩種灰色模型選取維度7建模時，不僅還原方程c值較低，且預測值的誤差相對于其他維度也較小。因此取維度7數據進行驗證并討論兩種模型的預測停止時間；計算結果如表8所示。

表8 計算結果預測統計

GM(1，1)預測公式如下：

(6)

Verhulst模型預測公式如下：

(7)

由表8可知：

(1) GM(1，1)模型的表達式基本形式為指數函數，預測數值增加較快且當預測時間較長時，誤差值增大速率也較快，在第5月時其誤差值超過5%，因此GM(1，1)模型不宜對沉降進行4個月后的預測。

(2) Verhulst模型在預測路基沉降時，誤差值逐漸增大，在第14月時其誤差值超過5%，考慮其路基處治的安全性，因此Verhulst模型不宜對沉降進行14個月后的預測。

(3) 采用灰色Verhulst模型對益馬高速公路路基沉降進行1年內的預測，預測結果表明：在1年內，路基的最大沉降速率為0.35 mm/周，路基保持穩定狀態。

5 結論

通過對益馬高速公路典型路基斷面實測數據進行擬合及預測計算，得到以下結論：

(1) 針對益馬高速公路路基斷面的特點，運用GM(1，1)、Verhulst模型對該路基監測數據進行分析，結果表明：在維度為7時，擬合方程通過后驗差檢驗c值最小，且預測值的相對誤差最小。

(2) 灰色模型GM(1,1)適宜短期預測的時間是4個月內，而Verhulst模型適宜中長期預測的時間是14個月內，兩種預測模型隨著時間的延續，預測等級都會降低；同時采用灰色Verhulst模型對益馬路基沉降進行1年后的預測，預測結果表明，在1年內，路基的最大沉降速率為0.35 mm/周，路基保持穩定狀態。