落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色

王艷 吳文輝

[摘? 要] 《普通高中數學課程標準（2017年版）》對文化在數學課程中的融入提出了明確的要求，在數學教學上，怎樣滲透傳統文化知識，實現文化與數學的融合，提升學生的數學能力和人文素養，進而提升數學核心素養. 這是值得我們數學教師重視的一個新問題.通過精心設計的數學導入、貼近現實的新知探究、豐富多彩的課外活動、合理巧編的數學問題正是解決問題的有效探索.

[關鍵詞] 數學教學;傳統文化;人文素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》在知識結構圖中指出：要把數學文化融入課程內容.數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動. 以下側重談談在數學教學中，如何使傳統文化、數學史、人類生活與數學相結合.

傳統文化是文明演化而匯集成的一種反映民族特質和風貌的文化，是民族歷史上各種思想文化、觀念形態的總體表現. 中國的傳統文化有道家、墨家、法家、名家，包括：古文、詩、詞、曲、賦、民樂、戲曲、國畫、書法、燈謎、酒令等.表面看，數學與傳統文化是完全不同的兩類學科：數學重理性，具抽象性;傳統文化重感性，具形象性. 數學講究歸納與推理，嚴謹;傳統文化講究靈感與想象，浪漫. 數學以邏輯思維方法為主，求真;傳統文化以形象思維方法為主，求美.

然而，就是對這兩個存在明顯差異的學科，中科院院士張景中教授卻說：“數學是人做出來的，數學的思考過程必然打上人文的烙印. 數學意境和人文意境之間，是彼此互相相通借鑒的.”他之所以這樣說，是因為數學與傳統文化之間有著共性和交融. 數學與傳統文化的重要共性之一，就是對美的追求.春秋戰國時期孔子教育學生講究六藝：禮、樂、射、御、書、數，這其中也強調文化與數學的融合.

在數學教學上，怎樣滲透傳統文化知識，實現文化與數學的融合，提升學生的數學能力和人文素養，進而提升數學核心素養. 這是值得我們數學教師重視的一個新問題.

在數學導入時傳承國學文化，情真意切話數學

在課堂導入環節，創設合理的問題情境，促進學生思考，是上一輪新課改教學同行達成的共識之一. 在“圓錐曲線的統一定義”的新課教學時，筆者以《三國演義》的第一回引入：“話說天下大勢，分久必合，合久必分.” 這里隱藏了橢圓、雙曲線它們兩者之間分開研究各自的定義，合在一起可以通過圓錐曲線的統一定義來刻畫. 這樣的引入方式一方面符合了教材的設計，將橢圓、雙曲線的第二定義安排在學習拋物線之后集中處理，是從整體、統一以及追求和諧的理念出發的一種設計;另一方面激發了學生學習數學的興趣，體現了數學與傳統文化知識的聯系.

徐利治先生在一次演講中說：“我每次講極限，總要引用李白的詩‘孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流.”學生課堂開始即在感官中體驗到“孤帆遠影碧空盡”的動態過程，沉醉在文化數學相融的唯美意境中. 杜甫《登高》詩中的兩句“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”，不但是作者的一種心境抒發，同時也是數學上的“實無限”“潛無限”的有機結合.

將唐詩宋詞和數學知識相結合，實現數學意境和人文意境的彼此相通和借鑒. 這里既有數學的科學內涵，又有豐富的人文素養，不但可以讓學生更好地理解和親近數學，而且學生會從中體會無限之美、數學之美.

在新知探究中滲透數學文化，拓展學生的思維

新的數學課程標準要求處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系，強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，提倡學生將自主學習和合作交流相結合以實現個人發展. 具體可以通過下面的幾點來實施：

1. 用貼近現實、生動有趣的問題吸引學生參與

“思維總是從提出問題開始的.”課堂提問是啟發學生積極思維的重要手段，教師要善于運用富有吸引力的提問激發學生的興趣.

案例1：支付寶與“螞蟻森林”.

在“等比數列的前n項和”第二節課導入，用學生熟悉的支付寶的公益活動“螞蟻森林”作為切入點，讓學生獨立探究水土流失和退耕還林的關系，通過教師提供的數據，逐步引導學生在互動操作中建立數列模型以解決問題.

例如，世界環境日時聯合國環境規劃署（UNEP）在其官方社交媒體賬號上公布了2019年世界環境日實踐案例，其中，支付寶“螞蟻森林”入選. 近日，新聞聯播播放了一段“螞蟻森林”關于庫布齊沙漠生態治理的介紹.庫布齊沙漠森林覆蓋率、植被覆蓋率已分別由2002年的0.8%、16.2%，大幅提升到2016年的15.7%、53%. 設從2002年起到2016年每年沙漠森林面積遞增a%，求a的值. 以2019年6月，全球參與“螞蟻森林”的人數已經達到5億來計算，若每年用戶增長率為5.8%，則到2025年用戶約有多少？

用學生身邊的事情來設計問題，將數學與當前的熱點相結合，不僅能提升學生的參與興趣，而且在掌握數學知識的同時感知社會責任、提升人文素養.

案例2：三角中的測量問題.

如圖1，有一條河MN，河岸的一側有一很高的建筑物AB，一人位于河岸另一側P處，手中有一個測角器（可以測仰角），一個可以測量長度的皮尺（測量長度不超過5 m），請你設計一種測量方案（不允許過河），并給出計算建筑物的高度AB及PA的距離公式，希望在你的方案中被測數據的個數盡量少.

本題有一定的不確定性，是一道開放題，題目給出問題的情境及基本要求，要求根據這些情況及基本要求收集信息;將問題數學化，自行假定與設計一些已知條件，提出多樣的解決方案，進而優化結論，培養學生運用所學知識分析、解決問題的能力，培養學生創新能力的核心——發散思維.

2. 用數學實驗來激發學生的學習動力和熱情

比如在學習有關不等式的證明過程中，可以請同學們自帶一些糖，因為學生都會自帶水杯，所以課堂上，筆者讓學生自己動手實驗得出糖水不等式的結論，這樣既簡單可行，又注重效果.這與2019年江蘇高考語文作文也不謀而合——根據以下材料，選取角度，自擬題目，寫一篇不少于800字的文章：“物各有性，水至淡，鹽得味. 水加水還是水，鹽加鹽還是鹽. 酸甜苦辣咸，五味調和，共存相生，百味紛呈.物如此，事猶是，人亦然.”又比如在排列組合教學時，可以給3～5分鐘介紹單循環、主客場比賽，并由學生來制訂分組方案，學生成為學習的主體，身臨其境，在活動中推究新知、理解數學、發現規律，從而培養學生的實踐能力.

在課外活動中，讓學生在多彩的數學文化中熏陶

1. 豐富課外作業的形式

學生因其所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，他們考慮問題、解決問題的方式與方法有著強烈的個性色彩. 根據內容特點，有時可布置一些有別于解題的課外思考題. 例如，在“等比數列的前n項和”第二節課后設置一道思考題，結合等比數列求和的操作模型來研究2020年西部地區是否能基本解決退耕還林的問題，如果不行，你可有哪些改進的措施（變化數據、模型等）.然后，布置課后實踐性作業：如果要在所居住的城市買房，需要貸款，可以采用公積金貸款、商業貸款、混合貸款等，學生任選一家銀行，利用周末時間，實踐完成具體貸款方案. 有時周末作業，筆者則指導學生在課余撰寫數學小論文，匯總與本周學習內容相關的詩歌等，這是滲透數學文化，拓寬數學視野，營造數學氛圍的好方法，受到學生的歡迎. 預習作業也要改變形式，比如在教學立體幾何前，先讓學生自己動手制作正方體、三棱錐等模型，使學生經歷簡單幾何模型的形成過程，讓幾何直觀助力學生理解立體圖形.

上述環節，筆者并沒有生搬硬套地將知識以結論的形式灌輸給學生，而是帶領學生經歷了知識的產生、形成過程，弄清它的來龍去脈，從中發展了創新意識和實踐能力，獲得了積極的數學情感體驗.

2. 重視“閱讀與思考”，書中自有黃金屋

新版高中數學課本在每章都設置了“閱讀與思考”，其矩陣中的“河圖洛書”“九章算術之推物求價”，數學歸納法中的“小孩子的發現”，永樂大典的“楊輝三角”，算法案例中的“韓信點兵”，等等，富有中國傳統文化特色的數學知識，讓我們驚嘆古人之過人智慧，文化之博大精深;還有函數中的“對數的發明”，三角中的“振幅、周期、頻率、相位”，讓我們感到數學的發展歷史和前人的奮斗經歷，使我們深深地感受到，傳統文化不僅僅存在于語文課堂中、閱讀課中，它同樣也可以表現在數學教學中.

對這些“特殊”的教學內容，筆者進行了深入分析，并以“二進制、計算機”為例. 二進制記數法的思想源遠流長，我國古代很早就有了相關研究，在《易經》上就講到兩儀，即一黑一白陰陽互補的兩條魚. 以后，在兩儀之上形成了八卦. 《易經》中關于兩儀及演變的敘述實際上就可以看成是二進制應用的萌芽. 德國數學家萊布尼茨1679年撰寫的《二進制算術》，使他成為二進位數制的發明人. 萊布尼茨后來發現他的二進制可以給中國古老的六十四卦易圖一個很好的數學解釋，他是通過他的朋友、法國傳教士白晉（F.J. Bouvet）得到六十四卦易圖的，萊布尼茨高興地說：“可以讓我加入中國籍了吧！”由此可見，中國的很多國學知識中不單蘊藏著豐富的數學知識，包括祖暅原理等知識均起源在世界的前列.

數學史料，貫穿古今、涵蓋中外，筆者在教學中結合學生的心理特點、思維特點及數學史料自身的特點，滲透數學史教育，引導學生進行數學閱讀材料的精讀，教師做必要的點評，定能使學生加深對“對數、三角函數、二項式定理等”相關內容的理解. 重視高中課本中的“閱讀材料”，勤于思考，不但拓寬了學生的知識面，增強了學生對中國古代文化、對國家的認同感;同時還為學生沉淀了文化底蘊，增強了人文素養.

借助巧編數學問題，讓學生受益于傳統經典文化的再傳承

習題是數學課中一個不可回避的重要內容，以例題習題蘊涵人文思想的教育因素，可以讓學生在學習數學知識的同時，潛移默化地感受到人文精神的熏陶.

近年來，高考數學試題也開始不斷滲透國學文化，教育部考試中心命題專家評價2019年高考試題時提到：“試卷設置的情境真實、貼近生活，具有深厚的文化底蘊，體現了數學原理和方法在解決問題中的價值和作用.”如2019年高考數學理科Ⅰ卷第6題以我國古代典籍《周易》中描述事物變化的“卦”為背景設置了排列組合試題，體現了中國古代的哲學思想;2019年高考數學文科、理科Ⅱ卷第16題融入了中國悠久的金石文化，賦予了幾何體真實背景. 以國學文化為試題背景，可以培養學生學習數學的興趣，弘揚中國優秀傳統文化，并在潛移默化中激發學生的愛國主義情感.

平常教學也需要我們教師通過改編數學問題，讓學生受益于文化的熏陶. 比如“田忌賽馬”這個故事，出自西漢司馬遷《史記·卷六十五·孫子吳起列傳第五》. 忌數與齊諸公子馳逐重射. 孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩. 于是孫子謂田忌曰：“君弟重射，臣能令君勝.” 田忌信然之，與王及諸公子逐射千金. 及臨質，孫子曰：“今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟.”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金.

這個故事中蘊涵運籌學中的最優化思想. 現可以改編為以下題目：設齊王的3匹馬分別為A，B，C，田忌的3匹馬分別為a，b，c，6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A，a，B，b，C，c. 兩人約定：6匹馬均需參賽，共賽3場，每場比賽雙方各出1匹馬，最終至少勝兩場者為獲勝.

（1）如果雙方均不知道對方的出馬順序，求田忌獲勝的概率;

（2）頗有心計的田忌賽前派探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出A馬. 那么，田忌應怎樣安排馬的出場順序，才能使獲勝的概率最大？

本題結合列舉法，留給學生能力發揮的空間，可以列舉36種基本事件，如果看問題深刻一些，只要列舉6種基本事件，理科學生還可以用排列知識求解，也可以與幾何概型鏈接.

問題變式：田忌和齊王約定下午一點到兩點間到賽馬場商定賽馬事宜，求田忌在齊王之前到但等候時間不超過一刻鐘的概率.

結束語

“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”. 孤鶩是在“飛”的，云霞是在“落”的，文化的沉淀積累和數學能力的提升形成一幅流動著的美麗圖畫. 高中數學教學是以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質. 不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值. 在數學教學中滲透傳統文化知識，體現國學的魅力，有效培養孩子的數學思維能力，讓傳統文化進一步傳承下來，數學與傳統文化的深度融合之時正是“秋水共長天一色”之刻，在天空和水面這兩個本來并不相交的平面經過持續的變形相交了，這不但能使人感到整個畫面具有三維立體空間的真實感. 不僅如此，“秋水共長天一色”把人們的視線引到水天相接之處.有遠有高有深，文理兼容，境界開闊，美不勝收.