從發展心理學角度看數學抽象素養的培養

王思義 朱鍵

[摘? 要] 數學抽象作為高中數學的核心素養之首，對于培養學生的整個素養，具有奠基作用. 文章以“向量概念”為載體，結合高中生在邏輯抽象思維方面的發展心理學，分析并闡述了在概念課中培養學生的數學抽象素養的方法. 在教學過程中，應讓學生親歷抽象過程，掌握抽象的一般步驟，進而轉化為學生的數學素養.

[關鍵詞] 發展心理學;核心素養;數學抽象;向量概念

在2017年版的《普通高中數學課程標準》中明確了高中階段學生通過數學學習達成的六大數學核心素養[1]. 其中數學抽象位居第一，它應是其他核心素養達成的基礎，因為數學中的概念、命題、定理等內容都是抽象的產物，應用數學解決實際問題的模型是抽象而來的. 這些決定了數學的“抽象性”，這也是數學區別于其他學科的最明顯的特點;也正是這種“抽象性”，是學生學習高中數學的困難之處. 在2017年版的《新課程標準解讀》中指出，“數學抽象素養的培養需要深入到具體的學習活動中去，教師的教學方法的選擇要立足于對學生數學學習的心理認知特點和規律的把握，概念、命題、規則、模型乃至思想、方法的獲得，本質上是學習者在數學抽象過程中得到心理認知發展的過程.”[2] 本文以“向量的概念”的教學為載體，從發展心理學的角度分析學生數學抽象素養的培養方法.

高一學生的抽象水平發展特點分析

在發展心理學中，認為：整個中學階段，是學生抽象思維快速發展的時期. “在少年期（主要是初中生）和青年初期（主要是高中生）的思維是不同的. 在少年期的思維中，抽象邏輯思維雖然開始占優勢，可是在很大程度上，還屬于經驗型，他們的邏輯思維需要感性經驗的直接支持. 而青年初期的抽象邏輯思維，則屬于理論型，他們已經能夠用理論作為指導來分析綜合各種事實材料，從而不斷擴大自己的知識領域.”[3] 也就是說，初中的抽象水平處于由經驗型向抽象思維轉化，抽象思維占主要部分. 而高中應具備較強的抽象水平，是有很大的提升的. 那么這里的提升，怎么去實現呢？“高中一年級到高中二年級是邏輯抽象思維的發展趨于‘初步定型或成熟的時期.”“成熟前思維發展變化的可塑性大，成熟后則可塑性小，與其成年期的思維水平基本上保持一致，盡管也有一些進步.”[3] 高一的學生，應該是學生從初中向高中轉型時期，那么這種抽象能力的提高，應該是在教師的引導下進行的. 因此，我們教師就應抓住這一關鍵期，培養學生的抽象能力，使得學生盡快地適應高中學科知識的學習，也是完成抽象能力的提過的過程的關鍵時期. 在2017年版的《新課程標準解讀》中，專家們建議教師們在平時的教學中，讓學生經歷數學抽象的過程，掌握數學抽象的方法[2].

但是，在高中課堂，一些教師在教學中，并沒有讓學生去完成抽象過程，而是自己舉例，自己抽象，給出定義，對定義的內涵跟外延的闡述，進行相關題目的訓練. 這樣就使得學生雖然掌握了一定的數學知識，但不知道為什么要學習這些內容，應該怎樣學習這些內容. 大大地影響了學生應用數學的能力. 數學中的概念課，應該是數學抽象的大本營. 我們如果在教授概念時，讓他們經歷抽象的過程，教會他們抽象思維的方式，那么在高中眾多概念的學習中，學生就會形成一個研究系統. 自然地，學生的抽象能力也就會形成理想效果.

筆者聽過關于“向量概念”的一些公開課，教師們對這個課題進行同課異構，但效果都不是很好. 一部分教師拿到這個課題，就不知道這節課怎么上好，因為這節課概念難度不大，概念較多. 居多都是按照課本內容去上，稍微好一點的，也就是在抽象向量概念前的例子選取上下了一些功夫，但對于學生的抽象能力的培養意識比較薄弱. 下面，以培養學生數學抽象思維的角度，對“向量概念”這一節課進行教學分析和教學設計.

向量概念的抽象過程

所謂抽象是指：“從具體事物中抽取相對獨立的各個方面、屬性及關系等的思維活動，抽象的結果具有一定的‘抽象性，與具體事物的‘具體性相對立. ”[4]所謂數學抽象是指：“通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.”[1]關于數學抽象，史寧中先生在他的兩本書《數學抽象：數量與數量關系》《數學抽象：圖形與圖形關系》有關于抽象過程的詳細闡述. 在《數學抽象：數量與數量關系》一書中，對人類對數量的抽象的過程進行了闡述. 我們可以從中看出數量的抽象過程是漫長的. 我們在教學中，課本上的內容的編排是按照知識邏輯順序來編排的. 而我們教學時，教師應將這一思維過程呈現給學生. 當然，這過程中，不是完全放手，由學生天馬行空地去想，而是教師應起到一個引路人的作用. “向量概念”的抽象也應體現這一思維過程，并且讓學生經歷這一過程. 史寧中先生將抽象分為三個層次：“①把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達，我們稱其為簡約階段. ②去掉具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表達包括已經簡約化了的事物在內的一類事物，我們稱其為符號階段. ③通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段.”[5]

1. 數學抽象中的簡約階段

對于“向量概念”，首先應該是向量的抽象，把握本質，就應從大量的實例中提出數學本質.

教師舉例：向同學問路“到校門口怎么走”.

學生回答：從教室往前走.

教師：就這樣我就能找到校門口了嗎？

學生：500米處.

教師：路牌上的路標也是這樣，標有到某某地方的方向和距離. 汽車上的導航，經常會提醒我們到某個地方，沿著某一個方向行駛多遠的距離.

教師：我們學的這一章的章前圖，小船航行的航線，有距離，有方向.

教師：在這些例子中，說明我們要找到確切的位置，需要哪些要素？

學生：距離、方向.

教師：位置在我們物理上稱為什么呢？

學生：位移.

教師：說明“位移需要用大小和方向來表達”. 物理上還有哪些像這樣的例子呢？

學生：速度、加速度.

教師：對，也就是這些量，我們不僅關心它的大小，還要關心它的什么？

學生：方向.

教師：這樣的量，我們在數學里見過嗎？我們以前學習的量是什么？

學生：大小.

教師：對，也就是數量.

教師：物理中的位移、速度、加速度，這些對象在我們數學上，用數學的眼光去看，是新的問題. 從數學角度來看，它們有什么共同的地方？

學生：它們都有大小、方向.

教師：對，這是我們以前在數學中沒有研究的問題. 今天我們就來研究它. 既然這個量是具有方向的量就給它一個名稱“向量”.

這里學生經歷了從具體到抽象的過程. 感受到抽象，實際就是找出不同事物之間的數學本質特征. 那么這里就完成了史寧中先生講的第一步：簡約階段. 這里教師應將這一步的抽象階段和方法告訴學生.

教師：我們以上的過程，就是從眾多的事物中，提煉出它們在數量關系與幾何關系方面的共有的本質特性.

這一步，我們稱其為簡約階段. 也就是拋開繁雜的事物背景，找出數學共性.

2. 數學抽象的符號階段

接下來，就是第二步：符號階段. 教師應向學生講解清楚抽象的第二個步驟為符號階段.

教師：抽象的第二步：符號階段. 只有對向量賦予一定的符號，才能用數學的方法對它的性質、計算等方面做進一步研究. 那么我們用什么符號來表示向量呢？

學生應該不難發現導航上用有向線段表示，物理上也是用有向線段表示的.

學生：有向線段.

教師：對，我們這里的表示方法和物理上的統一：有向線段. 用兩點A，B分別表示起點、終點. 由起點指向終點的有向線段. 有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向. 向量的字母上面加上箭頭■，這是向量的圖示方法. 向量的大小稱為向量的模長，簡稱模，記為■.

這和學生平時的認知習慣相符，讓學生接受起來也不難.

教師：當我們有了研究對象的幾何表示和字母表示，我們就可以從幾何和代數的角度，較為簡潔地去研究它，也就是我們前面提到的符號階段.

有了符號表示后就可以對向量性質和計算進行抽象.

教師：在一個數學系統中，我們需要規定它的零元和單位，數量中0表示沒有，1表示一個單位，那么向量中也應該規定零向量和單位向量，應該怎么規定呢？

學生：模長為零的向量為零向量，模長為1的向量稱為單位向量.

教師：我們分別把零向量和單位向量記為：0，e.

教師：為了研究向量的性質，這里我們來看一個例子[6]：兩個小船，分別從A與B點出發，在水流的作用下都向東行駛，在相同的時間內行駛到A′和B′點. 它們的位移用什么表示？

學生：可以用向量■和■表示.

教師：這里小船的位移實際上是什么作用的效果？

學生：水流.

教師：作用在兩個小船上的效果是否相同？？搖？搖

學生：相同.

教師：所以向量■和■相同嗎？

學生：相同.

教師：那么向量■和■的起點不同，但方向相同，大小相同，這兩向量是相同的，這說明向量具有什么樣的性質？

學生：向量與起點無關.

教師：也就是，向量的大小相同，方向相同，我們就把它們視為同一個向量，也就是相等的，記為：■=■. 我們把與起點無關的向量稱為自由向量. 我們這里學習的向量不需要考慮起點，所以我們所說的向量都是自由向量.

教師：數量即多少■，向量由于既屬于代數對象，又有幾何特征，所以我們不能籠統地比較向量的大小. 但我們可以分開來講，對于代數特征，我們可以比較它們的什么？

學生：模長.

教師：幾何特征呢？

學生：方向相同或相反.

教師：我們把方向相同或相反的兩個非零向量稱為是共線的，記為：■∥■. 因為它們可以平移到同一條直線上. 書上的例1[7]作為這部分內容的鞏固掌握.

向量的性質抽象之后，就應該是向量的計算的抽象.

教師：下一節課，我們繼續對向量的抽象，向量計算的抽象.

3. 數學抽象的普適階段

這里對于向量概念抽象的普適階段應該是后面的，應用“向量法”解決幾何與代數問題. 雖然課時不夠了，但我們在這里應該向學生介紹，因為這三個步驟，它們是一個整體，讓學生知道數學抽象的完整的步驟.

教師：向量有大小，屬于數學上的哪個分支？

學生：代數.

教師：向量有方向，屬于數學上的哪個分支？

學生：幾何.

教師：那么向量既屬于代數又屬于幾何對象，向量也就自然地成為溝通代數和幾何的橋梁.

教師：在后面的學習，我們借助“向量”，用代數的方法解決幾何問題，用幾何的方法解決代數問題. 也就是抽象的第三步：普適階段. 研究向量的性質、計算之后，用它研究其他對象. 這就是普適階段. 這個內容放到后面來講.

最后的小結部分，應讓學生總結數學抽象的步驟. 這一節課，不僅要學習向量的知識，更應該讓學生經歷抽象的過程，讓他們掌握數學抽象的一般方法. 這樣，在學習高中的眾多抽象的概念時，學生可以根據一定的認知策略進行自我探索，相應地降低了高中數學學習的難度.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]? 林崇德. 心理學[M]. 杭州：浙江教育出版社，2002.

[4]? 徐利治，鄭毓信. 數學抽象方法與抽象度分析法[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.

[5]? 史寧中. 數學思想概論：數量與數量關系的抽象（第1輯）[M]. 長春：東北師范大學出版社，2015.

[6]? 徐元根. 對中學向量概念敘述方式的建議[J]. 中學數學月刊，2001（11）.

[7]? 人民教育出版社中學數學室. 全日制普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（下）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.