田興輝
[摘? 要] 創新是試題命制的客觀需要,但由于命題者水平和經驗所限,難免會出現一些錯題或錯解,文章通過具體案例,試圖理清錯因并找到應對辦法.
[關鍵詞] 命題;解題;錯因;反思
高中數學知識面廣、難度大,知識點間交錯繁雜,由此給命題帶來很大風險,稍有不慎就會出現致命問題. 筆者選取了看似完美的兩例錯題,借此探尋錯題、錯解的根源,思考如何引以為戒或化錯為寶,使其成為我們教學的鋪路石.
題一:已知函數f(x)對任意實數x,y,滿足f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且f(1)=1,求f(x)的解析式.
解法一:令y=-x,可得f(0)=f(x).
再令x=0,y=1,由f(1)=1,得f(0)= -1,故f(x)=-1.
解法二:令x=0,y=1,由f(1)=1,得f(0)=-1.
再令x=0,y=x,得f(x)=2x2-1.
解法三:令x+y=1,得f(1)=f(x)+2(1-x),?搖即f(x)=2x-1.
評注:此題至少會得到以上三種結果,而且看似都很有道理,究竟孰是孰非?學生很茫然,我們嘗試用求出的解析式分別計算一下f(2),會得到三個不同值,到底是哪里出問題了呢?下面來一探究竟:
根據條件“對任意實數x,y,滿足f(x+y)=f(x)+2y(x+y)”,可知這是一道抽象函數問題,比較適合用賦值法解決. 下面給變量賦值,令y=-x,代入條件可得f(x)=f(0),而f(0)是一個常數,這說明f(x)是常數函數. 沿著這個思路分析,由于f(x)是常數函數,那么必有f(x+y)=f(x)=f(0),代入已知條件會得到f(0)=f(0)+2y(x+y),也就是對任意實數x,y,2y(x+y)=0恒成立,這顯然是一個假命題,這個題目的癥結在于已知條件之間互不相容,這種自相矛盾的函數是不存在的.
題二:已知函數f(x)=■,若x1,x2都大于0,且x1+x2 錯解:由f(x)=■求導可得,f′(x)=■. 因為0 同理,lnx2<■x2. 所以lnx1+lnx2<■x1+■x2=ln(x1+x2),所以lnx1x2 評注:本題不妨換種解法,假如利用權方和不等式解決,會得到如下結果. 顯然,原答案給出的解法是利用函數的單調性建立不等關系,看似順風順水,實則極其隱蔽地擴大了取值的范圍,這也提醒我們命題時不妨用一題多解驗證一下,也許會發現一些潛在的隱患. 思考 其一:命題需謹慎,不能盲目創新.由于命題需要,我們常會處心積慮的原創或改編一些新題,但由于考慮欠周全或是沒有經過實踐檢驗,難免會出現意想不到的紕漏. 常見的錯誤多見于條件的設置,尤其是條件之間不兼容, 甚至條件與公理、定理、定義相矛盾,這就要求命題者要多角度思考問題和嘗試一題多解,避免題設條件的對立或開放,確保數學命題的嚴謹性和科學性. 其二:解題要反思,不能迷信答案.對于發現的錯解,最好不要輕易放棄,因為越是這類題目,學生越是感到好奇,越想知道其所以然.如果我們能充分挖掘錯題的教育功能,對于調動學生的學習積極性,培養他們思維的嚴密性和批判性,都將起到很好的作用. 對于出現的不同結果,要抓住區別和聯系,辨明是非和方向,深入剖析錯解根源,激發學生從多角度出發進行深度思考. 此外,還可以挖掘錯題的數學價值,重新開發利用,使其變廢為寶,把修正錯題當作培育數學理性思維的良好載體.