初中數學思維可視化教學課例設計

石長虹

摘 要：可視化技術是一種計算與處理方法，能將抽象的數據和符號關系變成具體的、直觀化的關系。在數學中引入可視化技術，將原本不可見的思維用圖示的方式清晰地呈現出來，讓學生能親眼所見模擬和計算的過程，實現對信息的可視化、數據的可視化、計算的可視化和隱性思維的顯性化，加快了學生對知識的獲取和吸收，提高了課堂的教學效率。

關鍵詞：數學思維;可視化;初中課堂;教學策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】B 【文章編號】1008-1216（2020）06C-0067-02

恩格斯說：“一個民族想要站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！迸c知識學習相比，思維能力的發展并不是一個自然的過程，而是要經過專門的培養和訓練，因此，素質教育背景下的教學改革強烈呼喚“思維教育”。數學是一門思維性和邏輯性極強的學科，數學教育的目的不僅是讓學生掌握數學知識，更為重要的是發展學生的數學思維，讓學生運用數學思維來分析問題和解決問題，為學生提供一種學習數學的新方法。

一、抽象思維可視化

數學抽象思維是以數學概念為思維材料，通過數學判斷、推理的形成來反映數學本質，揭示數學知識之間的內在聯系。抽象思維是對已獲得的數學事實進行加工處理，從中抽離出數學本質特征的過程。抽象思維可視化，是利用圖示的方式將數學概念、數學規律、概念與規律之間的因果關系、思維的邏輯及順序表達出來。如果說數學概念是“點”，數學思維過程是“線”，那么，諸多的“點”與“線”結合起來，就形成了一個整體，從而表現出數學的本質。在抽象思維可視化的過程中，學生可根據自己的想法對其進行靈活改變，達到與自己思維相匹配的狀態。

數學概念反映的是現實對象的數量關系和空間形式的本質特征，是學生進行數學推理和證明之本，扎實掌握數學概念，能提高運算技能和問題解決能力。實現思維可視化，有助于學生記憶并靈活運用。

以菱形概念教學為例。菱形是學生在學習平行四邊形之后，要掌握的一種特殊的平行四邊形。本節課教學重難點是菱形的性質及判定方法理解。由于菱形和矩形都屬于特殊的平行四邊形，所以它們都具有平行四邊形的性質。在研究菱形時，教師可引導學生從平行四邊形入手，對菱形和矩形所具有的特征進行判定，實現對原有知識的同化，強化對菱形知識的理解。為此，我們根據平行四邊形與矩形、菱形的從屬關系，采用可視化技術，利用表格將矩形的知識點研究策略和菱形進行對比，如下表所示。

表? 菱形研究思維的可視化

任何知識都有它的本源。學生在表格中內容的引導下，以小組為單位，進行自主探究，有利于培養學生的自主性。這樣將菱形的性質及判定方法（三個方面：邊、角和線）進行總結和類比，清晰直觀、簡單完整，不僅將菱形概念中最核心的內容簡明扼要地表達出來了，而且通過上、下位知識的聯系，能讓知識體系更具有連貫性。此外，通過對比，可幫助學生將矩形的判斷方法遷移到菱形的判定中，實現知識的遷移和運用。

二、形象思維可視化

數學形象思維是以數學表象為思維材料，以觀察、猜想、比較、類比、聯想的形式，對形象材料的意識加工而得到領悟的一種思維方式。通過教學實踐發現，學生在學習過程中數學表象儲備少，知識零散，且缺乏聯想意識。造成這種現象的原因是學生形象思維能力的欠缺，及部分教師在教學中忽視了直觀演示的作用，學生無法對知識點形成相對透徹的理解，難以構成一張清晰的數學知識網絡。

形象思維可視化是將以語言描述的數學情景或以符號表達的數學公式，形象地轉化為數學圖形進行的思索。由于相比于抽象思維，想象思維更具有動態性和直觀性，有利于學生理解和深化知識。

以二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）性質教學為例。教師用幾何畫板演示，學生觀察，當改變a的大小時，拋物線開口大小隨之變化，當a的符號改變時，拋物線的開口方向隨之改變。當a=0時，圖象變為一條直線，不再是拋物線，所以二次函數a≠0。那么當b=0或c=0時，函數圖象又有什么變化呢？一位學生在講臺上用幾何畫板進行演示，其余學生在觀察的同時，驗證自己的猜想。結果發現當b=0，拋物線關于y軸對稱;當c=0時，拋物線經過原點;當b=0且c=0，拋物線經過原點且關于y軸對稱。這樣通過該階段的動態演示，學生了解了二次函數的二次項系數不能為零，以及各個參數變化時拋物線大小、開口的變化情況。那么，y=ax2、y=a（x+m）2與y=a（x+m）2+k有什么區別和聯系呢？

首先分析y=ax2和y=a（x+m）2，取m=2時，利用幾何畫板分別畫出二次函數y1=ax2和y2=a（x+2）2的圖象，發現：兩條拋物線開口相同、形狀相同，只是位置不同。在y1=ax2上取一點P，再在y2=a（x+2）2上找到P點對應的Q，計算P和Q兩點的坐標，接著讓P點在y1上進行運動，帶動Q點同時運動，學生通過觀察發現，兩點坐標無論如何變化，其橫坐標差都是2，縱坐標相同。也就是y2=a（x+2）2圖象可看作是y1=ax2向左平移2個單位得到的。類似的當取m=-2時， y2=a（x-2）2圖象可看作是y1=ax2向右平移2個單位得到。

通過剛才的演示，學生已經掌握了圖象性質的分析方法，于是讓學生以小組為單位，自主的探究y=a（x+m）2和y=a（x+m）2+k、 y=ax2和y=a（x+m）2+k的區別和聯系。利用幾何畫板，讓學生直觀觀察到二次函數圖象的動態變化過程，獲得生動的數學形象，簡潔明了、一目了然，學生的數學形象思維能力得到了有效的訓練。

三、直覺思維可視化

偉大數學家彭加勒曾說：“邏輯用于證明，直覺用于發明?！睌祵W直覺思維是以數學概念和數學表面結合而成，以豐富的經驗和知識的結構為依據，對思維對象從整體上進行考查，不借助于數學邏輯推理而僅憑感知、想象去作出猜想和判斷，它是一種思路簡單化的思維方式，以高度簡練的方式洞察事物的本質，省去了一步一步分析推理的中間環節。將直覺思維可視化，是在腦海中經過抽象思維后有了數學模型，又經過形象思維形成數學模型的過程。學生在看到另一個數學題目后，能迅速地聯想到這個數學模型并靈活運用進行解題，從而實現知識的有效遷移。

以平面內n條直線最多能把平面分成幾個部分教學為例。

分析：這道題目乍一看非常抽象，大部分學生感覺沒有頭緒。但仔細分析題目后，就會發現與我們曾經學習過的問題比較像。從1條直線開始，如圖1所示，平面被分成2個部分;圖2中，2條直線，相交于1個交點，將平面分為4個部分;圖3中，3條直線，相交于3個交點，平面分為7個部分;圖4中，4條直線，相交于6個交點，將平面分為11個部分;圖5中，5條直線，相交于10個交點，將平面分為16個部分。這樣問題就變得很顯性化了。

我們結合圖形開始尋找規律，從圖1到圖2，發現直線的交點多1個，平面就會被多分成2個部分，即交點數從1→2，平面被分成2→2+2部分;從圖2到圖3，交點數從2→3，平面被分成（2+2）→（2+2）+3部分。以此類推，結果發現，平面中直線相交每增加k個交點，平面就會被多分成（k+1）個部分。所以，平面內n條直線最多可以將平面分為： 2+2+3+4+5+…+n=2+2+3+4+5+…n=1n（n+1）/2+個部分。

可見，在數學習題訓練時，教師的責任并不僅向學生講解題的步驟和答案，更為重要的是將數學題目中的基本模型給學生講清楚，使其能深深根植于學生的腦海中，這樣，當學生再次遇到類似的題目就能迅速地想到對應的數學模型，當學生所積累的數學模型越來越多，在進行數學解題時，就越容易作出直覺判斷。所以，從某種意義上來說，直覺思維的可視化是抽象思維和形象思維可視化融合后產生的飛躍。

四、結束語

總之，初中數學知識點繁多且靈活性較強，借助思維導圖、表格、流程圖等技術實現思維可視化，可以讓學生更加輕松直觀記憶，理解各知識點間的內在聯系，不僅有利于鍛煉學生的遷移能力和思維拓展能力，也為學生將來解決問題提供了有效的解決方法，促使學生的邏輯思維發展更為完善。

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