基于應變的變形副反射面位姿形貌快速重構方法?

許 謙 王從思 易樂天

(1 中國科學院新疆天文臺烏魯木齊830011)(2 中國科學院射電天文重點實驗室烏魯木齊830011)(3 西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室西安710071)

1 引言

隨著科學技術的不斷進步, 反射面天線日益廣泛地應用在天文觀測、雷達與衛星通信等方面. 其中, 大型雙反射面天線因其增益高且結構簡單的特點成為最常用的地面衛星通信站天線.

近年來衛星通信發展迅猛, 大型雙反射面天線的口徑、頻段也在不斷地增加, 對天線的指向精度、增益損失等技術指標的要求也越來越嚴格, 這給天線的結構設計帶來了很多挑戰. 然而, 為實現大口徑、高頻段雙反射面天線的高靈敏度和高分辨率, 其方位座架需要能夠對反射體部分進行方位俯仰的實時性調整, 這要求反射體部分的剛度不能過強, 否則將導致天線結構過于笨重. 與此同時, 在實際工作時天線需要長期暴露在自然環境中, 其反射體容易受到自重以及風荷、雨雪、太陽照射等環境因素的影響而產生變形, 其中副反射面的位姿和形貌很容易發生變化, 這會導致主副反射面位置匹配失調, 使天線的電性能逐步惡化, 如增益下降、指向偏離和副瓣電平升高. 因此, 如何快速、實時且更加精準地重構副反射面位姿、形貌, 對于提升大型雙反射面天線工作性能有很重要的意義[1–7].

為了獲取更精準的副面, 常用的方法是基于反射面天線機電耦合的思想, 通過遠場方向圖與口徑場的相位誤差來反推副面形貌. 文獻[8]采用高效的射線追蹤和新的插值方法來達到對副反射面更高精度的擬合, 文獻[9]用Jacobi-Fourier全局展開式來表示成形的反射器表面. 區別于上述方法, 本文基于應變傳感器和模態疊加原理, 分別通過采集天線發生變形后副反射面支撐腿、副反射面自身的應變值來重構副反射面的位姿、形貌[10–11].

2 副反射面位姿形貌重構

假設在副反射面支撐腿上按照一定的規律布置n個應變傳感器, 應變傳感器的測量值為εn×1= [ε1,ε2,···,εn]T, 且設副反射面支撐腿與副反射面連接處的節點個數為m,其中εn表示第n個應變傳感器的測量值.

利用ANSYS軟件對大型雙反射面天線的結構有限元模型進行模態分析, 可以獲得前N階位移模態振型和前N階應變模態振型, 且為了避免廣義模態坐標矩陣奇異, 傳感器數量應不小于截取模態數, 即nN. 并可以從中提取副反射面支撐腿與副反射面連接點處節點對應的位移模態振型矩陣βm×N以及副反射面支撐腿上應變傳感器處節點對應的應變模態振型矩陣γn×N, 分別為:

其中,p1,p2,···,pm表示副反射面支撐腿與副反射面連接點處的節點,q1,q2,···,qn表示副反射面支撐腿上應變傳感器處的節點,表示副反射面支撐腿與副反射面的第pm個連接點處節點的第N階位移模態振型,γqn N表示副反射面支撐腿上第qn個應變傳感器處節點的第N階應變模態振型.

根據模態疊加原理, 載荷作用下副反射面支撐腿結構的應變可表示為各階應變模態的線性組合, 從而可以利用最小二乘法反推出最優的廣義模態坐標rN×1= [r1,r2,···,rN]T, 即求在歐幾里得空間以2-范數作為距離, 使得模態矩陣γn×NrN×1與εn×1之間距離

最小的模態坐標rN×1, 如下式所示:

將(3)式平方后對廣義模態坐標求導:

于是可以得到最優的廣義模態坐標rN×1:

根據最小二乘法原理,數據量越大,系統參數估計的精度越高.當傳感器的數量nN時,所求得的廣義模態坐標rN×1比較準確. 重構結果受應變傳感器讀數誤差影響的程度較低, 保證了位移重構的準確度.

同理, 載荷作用下副反射面支撐腿與副反射面連接處節點的位移也可表示為各階模態的線性組合, 則該位移向量χm×1=[χ1,χ2,···,χm]T可表示為:

其中,χ1,χ2,···,χm表示副反射面支撐腿與副反射面連接點處的節點在x、y、z方向的位移.

假設雙反射面天線的副反射面只發生剛體位移和剛體轉動, 并以副反射面頂點為原點建立局部坐標系O-xyz, 且天線變形后副反射面的頂點坐標為(x′i,y′i,z′i)′, 其中i= 1,2,3,···,n表示雙反射天線的n種不同變形, 結合變形前副反射面支撐腿與副反射面連接處的節點坐標(xi,yi,zi), 則可獲得變形后連接點處的節點坐標(x′i,y′i,z′i). ?x、?y、?z分別表示副反射面頂點變形前后在x、y、z方向上的平移分量. 根據變形前后連接處節點與副反射面頂點之間的相對距離不變, 即:

取3組變形前后連接處的節點坐標代入(7)式即可求得副反射面頂點變形前后的平移量?x、?y、?z.

假設在坐標系O-xyz中副反射面處于初始指平狀態, 其幾何示意圖如圖1所示, 則變形前后副反射面支撐腿與副反射面連接處節點坐標之間的關系是:

式中,

其中,φ、?分別為副反射面繞z軸、x軸右手轉動的角度.

圖1 副反射面坐標系示意圖Fig.1 Sketch of subreflector coordinate system

綜上, 變形后副反射面的位姿是由變形前的副反射面經過平移量?x、?y、?z與轉動量φ、?得到的. 在外載荷作用下, 發生變形的大型雙反射面天線, 可以利用副反射面補償技術即通過調整副反射面位置、姿態來進行主面變形補償時, 上述結果可以與由主面變形后的最佳吻合拋物面求得的副反射面頂點位置相結合[12], 有助于獲得更精準的最佳副反射面位置, 實現主副反射面之間的最佳匹配調整.

與上述方法中通過采集副反射面支撐腿上的應變值來計算天線發生變形后副反射面支撐腿與副反射面連接處位移的工作原理相同, 在副反射面結構上選擇一定數量的特征點并布置應變傳感器, 并基于模態疊加原理可以獲得副反射面上一系列離散特定目標節點處的位移. 當利用副反射面補償技術, 可以通過分片可調的副反射面來更精確地消除主反射面變形造成的光程差, 優化天線口徑場幅度和相位分布[13].

3 模型仿真

以某大型雙反射面天線進行實例分析, ANSYS結構模型如圖2所示.

在副反射面支撐腿結構中共布置了16個應變傳感器, 其分布位置如圖3所示, 圖中應變傳感器的位置為對應的單元中點. 如果考慮到大空間跨度溫度梯度以及傳感器的測量誤差等因素時, 傳感器應布置于距離副面較近的地方.

并且, 副反射面結構上應變傳感器和目標點的位置分布分別如圖4、5所示.

圖2 ANSYS結構模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of ANSYS structural model

圖3 支撐腿應變傳感器分布示意圖Fig.3 Schematic diagram of strain sensor distribution on supporting legs

圖4 副反射面應變傳感器分布示意圖Fig.4 Schematic diagram of strain sensor distribution on subreflector

圖5 副反射面目標點分布示意圖Fig.5 Distribution of target points on subreflector

4 結果分析

通過ANSYS軟件對理想情況下的天線模型施加重力載荷, 并進行網格劃分和模態分析. 通過(3)式、(4)式, 計算出天線支撐腿與副反射面連接點處的節點位移, 將應變傳感器測量的應變數據計算得到的位移與提取出來的ANSYS有限元法計算位移進行比較,兩種測量的對比結果如表1所示.

同理, 可以通過在副面布置應變傳感器來計算副面目標節點位移, 由于所選目標節點數目多, 為便于分析, 本文只對副反射面z軸方向目標節點位移數據進行對比, 如表2所示,x、y軸方向的目標節點位移如表3所示.

根據模態疊加原理計算的目標節點位移, 除個別點位移誤差較大之外, 其他均在10%以內, 在可接受的誤差范圍內, 滿足精度要求, 說明雙反射面天線在外載荷下, 使用應變傳感器和模態疊加原理計算得到的目標點位移滿足精度的要求. 副反射面平動、轉動參數分別如表4、表5所示.

表1 兩種方法測量天線支撐腿與副面連接點處節點位移Table 1 The node displacement at connection points between antenna supporting legs and subreflector calculated by two methods

表2 兩種方法測量副面z軸方向目標節點位移表Table 2 The displacement of target node in z axis of subreflector calculated by two methods

表3 副面x、y軸方向目標節點位移Table 3 The displacement of target nodes in the x, y axes of the subreflector

表4 副反射面平動參數Table 4 The translational parameters of the subreflector

表5 副反射面轉動參數Table 5 The rotation parameters of the subreflector

5 結束語

本文研究了基于應變的變形副反射面位姿形貌快速重構方法, 該方法的先進性在于即使大型雙反射面天線的結構載荷信息未知, 也可以通過這種方法, 利用少量應變傳感器測量的應變值, 快速、準確地重構出變形后副反射面的位姿、形貌, 該方法步驟簡單,容易實現, 結果精確. 特別是針對副反射面受到重力作用發生下垂變形的情況, 因為重力是造成副反射面姿態變化的主要因素. 通過結合案例建模仿真, 將使用該方法算出來的目標節點位移與ANSYS有限元法計算出來的位移相對比, 兩者之間的誤差滿足精度要求, 證實了該方法的有效性. 實際工程中, 只需應用此坐標系與實際工程中指定坐標系之間的轉換關系即可獲得實際工程所需的平移和轉動關系, 并且可以預先計算天線在不同工況下的副反射面相關調整數據并存入數據庫以實現對副反射面的實時修正, 從而保證天線在不同工況下都能獲得最佳的觀測效率.