基于問題鏈的《橢圓簡單幾何性質》教學設計

史瓊怡

[教學內容解析]

圓錐曲線是高中數學平面解析幾何中的核心內容，橢圓的幾何性質是在學生學習了橢圓的定義和標準方程之后，第一次真正意義上感受解析幾何的基本思想——從方程出發研究橢圓的幾何性質，是后續學習雙曲線、拋物線的知識鋪墊、能力基礎和方法指導，是數形結合的數學思想方法的典范，也是進一步完善學生的知識結構、深化數學思想方法、提升多種數學素養的重要載體。在本章中起著承上啟下、完善建構、形成范例的作用。

[教學目標設置]

1.初步理解橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質;解釋橢圓標準方程中a，b，c的幾何意義;

2.在探究橢圓性質的活動中，經歷從圖形直觀抽象幾何性質的過程，提取出利用代數方法研究幾何性質的一般方法，建立離心率模型。

[學生學情分析]

本節課的授課對象是高二學生，已經知道直線和圓的相關知識、橢圓的定義和標準方程;理解數形結合思想、數形轉化方法的重要作用，初步感知了解析幾何的基本任務，具有一定的圖形分析和代數推理能力。同時在函數和不等式的學習過程中已經積累了利用等量關系尋找不等關系、圖像的對稱性等研究函數性質的基本經驗。這些都為本節課提供了充分的基礎知識和思想方法準備。

[教學過程分析]

引言：美國數學教育家克萊茵說：解析幾何徹底改變了數學的研究方法，即通過坐標系，把幾何問題代數化。而建立曲線方程，便是代數化的手段之一。前面兩節課，利用橢圓的定義（是什么？），我們畫出了橢圓的形狀，推導出了橢圓的標準方程（是什么？）。

[設計意圖]通過復習回顧，激活作為本節課邏輯起點的基礎知識;通過對解析幾何本質的揭示，初步明確本節課的研究內容。

一、情境引入，明確方向

問題1? 除了利用定義，你能根據橢圓方程畫出它的簡圖嗎？

[設計意圖]中學數學教育的首要任務是培養數學直觀。通過畫圖辨圖，與學生已有的橢圓印象對比，讓學生發現問題，進而關注橢圓的一些重要特性，從而明確研究橢圓幾何性質的主要內容;通過“為什么”的追問，自然引導學生從方程本身的角度去考慮，從而明確研究的主要方法。

二、問題驅動? 合作探究

問題2 一般地，以橢圓為例，你準備研究它的哪些性質？如何研究？

[學生活動]學生自主探究，感知“幾何性質”研究的方向和方法，得出結論，說明理由。

探究1：我們能否從橢圓方程本身來探討橢圓的范圍呢？

方法提煉：通過觀察方程形式特點，由方程構造不等式，體現了研究幾何問題的“代數”方法，其實質是：已知，求x， y的取值范圍。

探究2：橢圓具有怎樣的對稱性？能否用代數法說明？

探究3：研究曲線上的某些關鍵點，可以確定曲線的位置和變化趨勢。你覺得該橢圓上會有哪些關鍵點？

方法提煉：分析四點的特性，形成頂點的概念.頂點是曲線與對稱軸的交點，而不是曲線與坐標軸的交點。類比遷移二次函數圖像的頂點。

[設計意圖]根據上一環節的討論，學生自己列出探究的問題（內容）目錄，然后自主思考，相互交流，探究結論.教師適當點撥引導，深化認識。范圍和對稱性的探究，經歷了由直觀（圖形）、推理（數量）、抽象（性質）的思維過程;頂點概念的建立，則是先直觀、后類比、再建模，體現了研究問題的方法論思想。

例1：橢圓的長軸長為_____，短軸長為______，頂點坐標是__________，

[設計意圖]由方程得性質，體現了本節課重要知識點和研究方法的基本應用，以及練習的反饋和診斷功能。

探究4 請在剛才的坐標紙上較精確地畫出第二個橢圓

。

[設計意圖]再畫橢圓，讓學生體驗利用性質畫圖的必要性和有效性，另一方面也是離心率概念形成的自然過渡。

問題3 觀察所畫橢圓和，它們在形狀上有什么顯著不同？

問題3.1? 再嘗試畫橢圓，分析橢圓的圓扁不同是由方程中的哪個量的變化引起的？

問題3.2? 是不是方程中的a，b都改變，橢圓的圓扁程度一定發生變化？

問題3.3? 你認為可以用怎樣的一個關系式來定量刻畫橢圓的“圓”和“扁”？

問題3.4? 利用基本量a，b，c之間的關系，還有其他類似的關系式來刻畫嗎？

借助幾何畫板演示一系列動態變化的橢圓，提供直觀支持。

[學生活動]直觀觀察，小組討論，合作交流，形成結論：離心率的定義、范圍、大小對圓扁程度的影響.經歷了形狀變化（觀察）、原因剖析（推理）、數學刻畫（對應）、建立模型（抽象）的思維活動過程。

[設計意圖]明確開放的問題，使學生體會到引入離心率的目的;由到符合學生的認知特點;教師利用幾何畫板動態演示，使學生對離心率刻畫橢圓的圓扁程度的理解更為形象直觀.整個探究過程體現了實物直觀、數學抽象、建立模型、形成概念的核心素養。

問題3.5? 你能運用三角函數的知識解釋，為什么利用越大，橢圓越扁？

[設計意圖]在長軸不變的情況下，通過“焦點離開中心的程度”直觀感知離心率的大小與橢圓扁平程度的關系，再從三角函數入手，定量研究證明。從具體到抽象再到證明，體現了數學的嚴謹性。

三、引導建構? 完善認知

問題4 請你寫出焦點在y軸上的橢圓的幾何性質。

[設計意圖]通過填表，一方面讓學生有條理地梳理、鞏固剛學過得橢圓的幾何性質，將離散的知識系統化，便于對比理解;另一方面，通過類比已有知識和方法，歸納得出焦點在y軸上的橢圓的幾何性質，發展了學生的思維能力。

四、總結提升? 形成體系

結合所學知識和知識的探究過程談談本節課你有什么收獲？

（1）知識：橢圓的簡單幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。

（2）方法：代數方法解決幾何問題;曲線方程研究曲線性質。

（3）思想：數形結合，方程思想，特殊到一般、類比等。

（4）經驗：研究圓錐曲線性質的一般方法經驗。

（5）素養：數學運算、直觀想象、數學抽象、邏輯推理。