用一次函數設計方案

張義

一次函數刻畫現實世界數量之間的變化關系，不等式則刻畫現實世界數量之間的大小關系，它們聯袂可以解決現實生活中的方案優化設計、投資費用評估、生產獲利計算等問題，有關的試題也備受命題專家青睞，成為中考中一道亮麗的風景線.本文選取數例加以剖析，供大家參考.

例1 某廠現有A種金屬70 t.B種金屬52 t，計劃用這兩種金屬生產M，N兩種型號的合金產品共80 000套，已知生產一套M型號的合金產品需要A種金屬0.6 kg，B種金屬0.9 kg，可獲利潤45元;生產一套Ⅳ型號的合金產品需要A種金屬1.1 kg，B種金屬0.4 kg，可獲利潤50元，設生產N型號的合金產品x套，用這批金屬生產這兩種型號的合金產品所獲的總利潤為y元.

（1）求y與x的函數關系式，并求自變量x的取值范圍.

（2）在生產這批合金產品時，Ⅳ型號的合金產品生產多少套時該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？

不等式組的解集是40 000 ≤x≤44 000.

∴ y與x的函數關系式是

y=5x+3 600 000（40 000≤x≤44 000）.

（2）因k=5>0，故y隨x的增大而增大.

∴當x=44 000時，有y最大=3 820 000.

即生產N型號的合金產品44000套時，該廠所獲利潤最大，最大利潤是3 820 000元.

評注：利用一次函數解決最大利潤問題，一般是根據題目中提供的條件選取一個與利潤有關的變量，先列出關于這個變量的一次函數關系式.然后求出這個變量的取值范圍（可以結合已知條件列出關于這個變量的不等式組進行確定）.雖然一次函數的圖象是一條直線，但當自變量限定在某一范圍內時，兩個端點處的函數值就是其最值.根據一次函數的增減性便可確定最大值或最小值.

例 2康樂公司在A.B兩地分別有同型號的機器17臺和15臺，現要把這些機器運往甲地18臺，運往乙地14臺.從A，B兩地運往甲、乙兩地的費用如下：

（1）如果從A地運往甲地x臺，求完成以上調運所需總費用y（元）與x（臺）的函數關系式.

（2）請你為康樂公司設計一個最佳調運方案，使總的費用最少.最少的費用是多少？

解析：本題所提供的信息縱橫交錯.我們可以通過繪制圖1來理清調運機器臺數的情況.

（1） y=600x+500（17 -x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13 300.

（2）由（1）知，總運費y是關于x的一次函數，且k=500>0，故y隨x的增大而增大.

∴該公司完成以上調運至少需要14 800元的運費，最佳的方案是：由A地調3臺至甲地，14臺至乙地：由B地調15臺至甲地.

例3 某西瓜產地組織40輛汽車，裝運A，B，C三種西瓜共200 t到外地銷售，按計劃，40輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種西瓜，且必須裝滿.根據下表提供的信息，解答后面的問題.

（1）設裝運A種西瓜的車輛數為戈，裝運B種西瓜的車輛數為y，求y與x的函數關系式.

（2）如果裝運每種西瓜的車輛數都不少于10輛，那么車輛的安排方案有幾種？請寫出各種安排方案.

（3）若要使此次銷售獲利達到25萬元，應采取哪個車輛安排方案？

解析：（1）由題意，裝運A種西瓜的車輛數為x，裝運B種西瓜的車輛數為y.則裝運C種西瓜的車輛數為（40-x-y）.于是就有4x+5y+6 （40-x-y）=200，整理得y=40-2x.

（2）由（1）可知，裝運A，B，C三種西瓜的車輛數分別為x，40-2x，x.

由題意得{x≥10. 解得10≤x≤15.

40-2x≥10

∴x的值是10，11，12，13，14，15.安排方案有6種，見表3.

（3）設銷售利潤為W（百元），則W=4x×16+5 （40-2x）x10+6xx12=2 000+36x.

由已知得2 000+36x≥2 500.故有x≥13 8/ 9

則x=14或x=15，故應選方案5或方案6.