從勾股定理到佘弦定理

田載今

三條邊與三個角是構成三角形的基本元素，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，是三角形的三邊具有的一般關系三個內角之和等于180°.是三角形的三個角具有的一般關系，三角形的邊與角之間還有哪些一般關系呢？

我們先從直角三角形說起，直角三角形的特殊之處是有一個角是直角，正是此特殊性使得它的三邊具有特殊的數量關系（勾股定理）：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，勾股定理早在三千年前就被人發現，并廣泛傳播.在數學的發展中，勾股定理作用巨大，影響深遠.

數學命題是由條件和結論兩部分構成的.勾股定理的條件是“已知三角形的一個內角是直角”，結論是“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”，常寫為c²=a²+b².這是直角三角形的一個性質定理，式子c²=a²+b²表示的是三邊之間的數量關系，但其中隱含了∠C是直角這個不可或缺的題設，

對于銳角三角形或鈍角三角形，它們的三邊之間存在什么樣的數量關系？我們從下面的具體問題開始討論.

例1 如圖1，銳角△ABC中，記∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠=45°，試求a，b，c之間的數量關系.

分析：在直角三角形中可用勾股定理表示三邊之間的數量關系.這個△ABC雖非直角三角形，但可以在其內構造直角三角形，為借助勾股定理進行討論創造條件.

例2 如圖3，鈍角△ABC中，記∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠C=120°.試求a，b，c之間的數量關系.

分析：雖然∠C是鈍角，但也可以構造直角三角形，為借助勾股定理進行討論創造條件，

小結：上面兩例中，雖然△ABC都不是直角三角形，但適當添加輔助線后，都構造出了新的直角三角形，由此就可以利用勾股定理討論相關線段之間的數量關系了，又由于題目中∠C的大小給定了，于是就能進一步“確切地”求出△ABC的三邊a，b，c之間的數量關系.

回顧例1中的c2=a2+b2_2ab和例2中的c²=a²+b²+2ab，兩式中的b都是自點A向CB邊所在直線引垂線，點C與垂足D之間的線段長.線段CD稱為線段CA在直線CB上的投影，也就是說b是邊CA在邊CB所在直線上的投影長，把這兩式統一起來.可以寫為c²=a²+b²±2ab.

③當∠C為銳角時2ab前取“一”號，當∠C為鈍角時2ab前取“+”號，③式不僅把銳角三角形與鈍角三角形的三邊之間的數量關系統一了起來，而且也涵蓋了直角三角形的情形.如圖5.當∠C為直角時，邊CA在邊CB所在直線上的投影為一個點C（垂足D與點C重合），此時投影長度b=0.所以有c²=a²+b²+2ab =a²+b².這與勾股定理一致.

上面所說的b不是△ABC中的原始邊長，而是邊CA在直線CB上的投影長度，它的大小與兩個因素相關：一個是選CA的長度b，另一個是∠C的大小.請看圖6，（1）（2）（3）（4）中的CA =b 一樣長.（1）（2）中∠C為銳角，邊CA的投影CD落在邊CB上，∠C越大投影長度b越短;（3）（4）中∠C為鈍角，邊CA的投影CD落在邊CB的反向延長線上，∠C越大投影長度b越長.

如果規定射線CB為正方向，則射線BC為負方向.于是，又可以規定當∠C為銳角時，邊CA的投影CD為正值6，即b=b;當∠C為鈍角時，邊CA的投影CD為負值6，即b=-b.當∠C的大小為某一定值時，這就是在高中數學中要學習的余弦定理，它對三角形的邊角計算有重要作用，

由上可知，勾股定理是推導出余弦定理的基礎，同時它又是余弦定理當∠C為直角時的特殊情況.由勾股定理到余弦定理，是從特殊三角形到一般三角形的推廣。