探討中學物理求質心的方法

近年來，中學物理選拔賽或競賽中常常出現求均勻物體的重心，嚴格來講此處的重心是一種重力場平行且物體各個位置的引力大小g 相等的一種理想情況，此時物體的質量分布和物體的重力分布是一致的，物體的質心和重心位置重合，也就是求物體質心的問題。而中學階段除非特別說明，都是基于這種理想狀況下討論物體的質心狀況。

重心可以看著物體各部分所受重力的合力的作用點，重心是一個定點，一般物體可用懸掛法求的重心，但是懸掛法只適合實驗性質的題解。規則物體可以采用諸如作圖法以及加權平均法等多種方法求解。質心是物體(或物體系)的質量中心，在研究物體質心位置時，可將物體的質量看作集中于質心，某種意義上類似于重心的作用點。在理論上，質心是對物體的質量分布用“加權平均法”求出的平均中心。如圖1 所示，三維空間中，物體系M 可等效劃分為5 個質量各異或相同的小物體系mi。

其中(1 ≤i≤5)

中學階段尤其初中物理通常只需考慮平面坐標系中的(x c，yc)

下面以實際質心(重心)問題例題解析提供多種解題方法。

一、用作圖法求出均勻薄板的質心

圖2 中薄板可以看作ABC1F 和CDEC1 兩塊薄板拼接，因此可分別求二者質心分別為G1 和G2，同理也可以看作是ABCC2 和C2DEF 分別的質心G1'和G2'，則G1G2 與G1'G2'的交點G 即為該薄板的質心。該方法同樣也適合更復雜的如Z 字形薄板的處理。此例也說明了物體的質心也可能不在物體上。

二、加權平均法求物體系質心

例 如圖半徑為R 的圓薄木板(厚度可忽略不計)，上面分別疊加了半徑為R/2 以及R/4 的圓薄木板，求當前物體系的質心。

如圖，以?O 的圓心為原點建立坐標系，由于題中薄板厚度不計，因此只需考慮x，y 方向的質心坐標(x c，yc)，整個物體系基于y軸對稱，所以yc=0

假設?O 薄板的質量為M，則其余2 個分別為M/4 以及M/16

三、機械杠桿法求質心

例 如圖4，半徑R=30cm 的均勻圓板上挖出一個半徑r=15cm的內切圓板，則剩余部分的重心離原來圓心的距離為多少?

此題可假設沒有挖孔時的狀態，此時挖孔部分的重量和剩余部分的重量相對于大圓的圓心O 滿足在Y 軸杠桿平衡，設完整的薄板重量為G，則剩余部分的重量為，那么杠桿平衡公式為

四、微元法積分方式求質心

對于質量連續分布的物體，可以采用微元法將物體分拆成多個規則形狀，采用微積分方式處理，這塊知識超越了中學范疇，可參考相關文獻。