基于問題設計的研究導向型教學在《復變函數》課程中的應用

劉方紅 曹秀娟

摘要：綜述研究導向型教學理念在大學數學課程中的應用研究，梳理出該教學模式應用中“問題設置的重要性”，進而分析探討了教學各環節的注意要點。以復積分的計算和拉普拉斯逆變換的求解兩個知識點的教學實踐為例，探索基于問題設計的研究導向型教學在《復變函數》教學中的應用。

關鍵詞：問題導向 研究型 復積分 拉普拉斯逆變換

新的教學改革目標越來越清晰，就是要更好的培養學生解決問題的能力，而不僅僅是知識的存儲器。這勢必對教學理念方式提出更新變革的要求。將研究型教學理念運用到大學本科課程教學中，可以說是一種全新的教學理念的創新，也是一種探索?！把芯啃蛯W習是以問題探究為主要特征的學習”。數學作為解決問題、課題研究的工具學科，以《復變函數》為例，在工程領域有廣泛的應用，其學科特點要求課程教學過程中更需要通過教學改革理念革新教學思路、方式，通過課堂教學流程再造，以切實培養學生研究解決問題的能力。

一、研究型教學綜述

在大學本科課程教學中借助研究型教學模式提升教學效果，首先要使“教”與“學”的主體雙方就該種理念模式有個統一的認識，形成建構知識的“學習共同體”?！敖獭迸c“學”的主體雙方只有基于共同認知，才能快速進入課堂角色，使先進的教學理念發揮有效的作用，達到教學改革目標。

目前，有學者從研究型教學在高等數學課程教學中的應用著手，做了較系統的理論分析和實踐探索。孫會霞、陳紅如探索將“以問題為導向的大學數學課程教學模式”應用在微積分中“定積分的概念”的教學實踐中，并提出了教學過程中各個環節的具體內容及要點。劉曉妍、王言英探索將“問題驅動式教學模式”應用在高等數學的教學實踐中，通過問題的巧妙設計，驅動了“中值定理”教學過程，取得了較好的教學效果。王芬玲、樊明智通過分析復變函數教學中存在的問題，說明了復變函數教學中采用研究性教學的必要性，并在教學過程中探索實踐。

綜上研究成果發現，研究型學習是以問題探究為主要特征的學習。研究型教學模式同傳統教學模式的最大區別是，其以問題為起點，將問題探究過程作為教學的主線，課程教學過程就是教師遵循“提出問題、分析問題、研究問題、解決問題”的框架路線，引導學生開展研究型工作，培養學生自主運用舊知識構建發現新知識的教與學的過程。那么，我們教師可以參考研究生論文指導過程，站在導師而非講師的角度，引導學生的學習。遵循教學指導的工作路線為：選題，基礎知識綜述，研究型教學，答辯式考核。

二、基于問題導向的研究型教學各環節的注意要點

（一）問題導向，合理選題。在充分的學情分析的基礎上，選題

問題的質量更大程度上決定了課程教學的質量。來自不同專業方向的學生，因其不同的專業知識儲備，對該模式的接受程度是不一樣的。學生既有的知識體系和解決問題的基礎能力決定了“選題”的方向和角度。選題對數學基礎較薄弱的學生、對整個教學過程效果起到了重大作用。興趣是最好的老師。在研究型教學中，尤其要注意借助興趣的力量將未知帶給學生的壓力轉化為學生求知、探索的動力。故，問題設計要額外注意發揮激起學生開啟數學思維的興趣的作用。

（二）開放式研究、教學籌備，必需儲備基礎的知識和技能。教師全面深入備課，學生提前預習

開展研究工作的前提要準備相關的知識作為思考基礎，相關的研究工具作為支撐。研究過程充滿不確定性，尤其對于知識面并不寬廣的學生，要在研究學習開始之前儲備相應的知識和技能，避免研究思路脫節，陷入低級的知識圈而得不到突破。另一方面，教師也要更加鍛煉一種解答學生提出各種問題的能力，或者要具備一種提前預判學生研究方向偏差常見問題的能力，通過連續的正確分析和解答學生的提問，以達到引導學生在解決問題的道路上不斷沿著正確的方向前進，更加深入進新的知識領域，實現知識的總結和提升，取得研究的成果，完成教學任務。這必然要求教師要加強自身知識和經驗的積累，全面深入的備課，制定更加有針對性，預判性的教學方案。

（三）引導研究、教學，做教學管理者

做到對研究教學過程進行有效引導和管控，是研究型教學中對教師提出的新要求，而不能只停留在三尺講臺侃侃而談式的灌輸知識。站在管理學的角度，可以把前述“選題”和“籌備”兩個環節視為“設定目標”和“編制計劃”，那么“有效引導和管控”就應該被深入理解為“檢查并糾偏”。要想通過充滿不確定性的開放式研究過程，實現既定的教學目標任務，就務必要加強對研究過程的管控。要發揮教師的專業能力，及時有效的引導學生的研究思路，重點關注研究過程的難點，管控學生的研究狀態，避免因研究工作的困難或繁瑣而影響學生的研究興趣，幫助學生調動研究學習的熱情和效率。教師要樹立不僅要“言傳身教”卻更要“用心經營管理課堂”的教學理念。

考慮到開放式研究性工作在時間和空間上的延續性特點，決定了學生參與課堂活動開展研究性學習之余，必然要在課后接續研究思路，應具備利用一切可用的時間和資源，主動思考鉆研的品質，只有如此多要素投入才是真正的“搞研究”，才會有成果、有所得，達到研究型教學的效果。所以說，教師要注意做課堂的管理者，同時又不能僅局限于教室課堂一隅，需注意搭建開發“第二課堂”，將研究型學習向學生的生活學習的各個空間、時間延伸。

（四）考核方式，（分組）總結答辯

同全新的教學模式配套，針對研究型學習效果的評價考核必然要改造傳統的教學考核方式。著眼于在實踐應用層面將該教學理念模式的推向深入，即時收獲有指導意義的研究成果?；趩栴}導向的研究型教學模式中，對學生的成績評定需綜合其多方面表現，并側重其過程中的行為評價考核。具體評價內容和指標應主要包含學生的研究型學習成果質量、教學參與程度和團隊合作能力三大方面。遵循教學指導的工作路線，該教學模式下最終產生的成果形式應是問題研究書面報告或者論文，并通過課堂答辯形式表現。確保評價指標構成及評價辦法全面反映學生的綜合素質水平。

三、基于問題設計的研究導向型教學在《復變函數》教學中的應用探索

總結個人教學實踐經驗，下面以復積分的計算和拉普拉斯逆變換兩個知識點的教學為例，探索基于問題導向的研究型教學在《復變函數》教學中的應用。

（一）復積分的計算

1.學情分析，問題設定

教材中在不同章節給出了復積分的計算方法，但方法之間的聯系與區別沒有給出詳細的對比分析，不同方法求解問題的效率是不同的。為此給出以下問題，啟發學生從熟悉的知識點上探究出新問題，更好的理解知識點，找到多種解題方法及不同方法適用的問題類型。從而培養學生自己整理歸納知識點的好習慣。

計算下列積分

2.教學準備

將班級學生分成6個學習小組，課前復習柯西積分公式、高階導數公式及留數計算的相關知識，為解決具體問題做準備。每個小組任選三題進行求解，求解過程中注意方法的選擇和知識點的運用。

3.課堂管理

分析問題，探索求解。各小組對自己選擇的題目給出具體求解過程，歸納總結出問題求解的方法。

對比分析，總結反思。根據閉曲線內奇點的類型，如果奇點是可去奇點或者極點，應用Cauchy積分公式、高階導數公式和留數定理在本質上是一樣的，比如（1）（2）（3）題，此時應用Cauchy積分公式或高階導數公式更簡潔，因為不需要判別極點的階數。但當奇點是本性奇點時比如題（5），要應用留數定理進行求解，留數定理可以求解的問題范圍更廣。如果曲線內有多個奇點時，用留數定理比應用復合閉路定理更方便。當在有限孤立奇點處的留數不容易計算時如題（6），可以借助無窮遠點的留數的性質及規則進行計算。

4.學習效果評價考核

引導學生討論分析不同求解方法之間的區別和聯系及各自的優缺點，使學生對求積分的方式方法加深了理解，取得了較好的教學效果。

（二）拉普拉斯逆變換

拉普拉斯變換在工程領域有廣泛的應用，比如在信號與系統中，是研究線性系統的重要工具。在求解線性微分方程中也有著很好的應用。在拉普拉斯逆變換的求解中，考慮上一堂一題多解的綜合課，引導學生進行多角度多方位的思考，通過分析-綜合-再分析-再綜合的方法，培養學生應用不同方法分析解決問題的能力以及發散思維。

3.效果評價

通過一題多解的研究性教學，學生一起自主討論、探索，學生的學習興趣有了提高，師生互動更充分，課堂氣氛更加活躍。

探索問題導向的研究型教學模式，不僅僅是要提高教與學的效率，從某種程度上更是培養學生的思維能力，對學生素質能力的鍛煉，這才是當前改革熱潮追求的最根本的教育目標。在《復變函數》課程中引入基于問題導向的研究型教學理念，通過引導學生深度思考研究，運用數學解決現實問題，旨在通過新教育模式將課堂教學流程再造，著力培養學生的創新精神和研究解決問題的能力。

基金項目：山東科技大學濟南校區優秀教學團隊（JNJXTD201713）

參考文獻：

[1]孫會霞，陳紅如.以問題為導向的大學數學課程教學模式研究與探討[J].河南教育：高教版（中），2014.

[2]劉曉妍，王言英.“問題驅動”在高等數學教學中的應用[J].河南教育學院學報：自然科學版，2014.

[3]王芬玲，樊明智.研究性教學在復變函數課堂中的應用[J]. 科技信息，2011，000（022）：117-117.

[4]華中科技大學數學與統計學院 李紅 謝松法.復變函數與積分變換[M].4版.北京：高等教育出版社， 2013.

[5]張曉軍，席酉民，趙璐.研究導向型教育[M].北京：機械工業出版社，2017.