輔助元素在中考幾何中的應用探究

田成東

摘要：初中幾何問題是教與學的難點，也是學生在中考中的失分點。在解決幾何問題中，有些題目不能僅僅依靠已知條件就能解決，這就需要改變數學策略，引入輔助元素。采取問卷調查法，對問題進行分析，結果顯示為，學生在遇到幾何問題探究時，大部分學生顯得束手無策，選擇放棄或是跳過此類幾何問題，也有部分學生隨意填寫一個答案。因此，對輔助元素在中考幾何中的研究就有了實際價值意義，對一線教師在幾何體的教學中也有了借鑒作用。

關鍵詞：初中幾何;數學策略;輔助元素

一、輔助元素的闡述及其應用價值

（一）輔助元素的闡述

在解決數學問題（主要指初中幾何問題）的過程中，往往會遇到許多瓶頸，阻礙著我們的解題進度，增加了解題難度，按照一般的解題途徑分析會比較困難，這時我們需要根據題目條件，合理構造輔助元素，建立已知與未知之間的“橋梁”，使問題得以解決。所謂構造輔助元素就是適當增加輔助元素，在幾何圖形中所講的輔助元素就是添加輔助線。對于中學生來說，能夠合理地添一條輔助線或者多條輔助線（某些難度系數較大的幾何問題添加一條輔助線無法解答），則思路豁然開朗，使問題得以求解。

（二）輔助元素在幾何問題中的應用價值

數學是一門邏輯性、抽象性較強的科目，一些數學幾何問題無法通過題干直接獲得結論，需要結合已知條件與隱含條件進行推導，將未知轉化成已知。這里所講的隱含條件，就是合理引入輔助線。引入輔助線的目的，旨在能夠為學生提供解題思路，引導學生使用逆向思維，從問題出發對題干進行分析，找到問題與條件之間的聯系，把它轉化到自己熟悉的知識領域，使問題得以解決。輔助線的引入，有助于培養并提升學生的逆向思維與應用知識的能力。隨著教育部門對義務教育進行新課程改革，要求教師在教學中要培養學生的自主探究綜合素養，促進學生的全面發展。本文所研究——輔助元素在中考幾何中的應用探究，就是為了通過引入輔導元素，幫助學生找到解題方法，激發學生學習興趣，引導學生自主探究數學學科的奧秘，培養學生數學學科的核心素養，為學生種下學好數學的種子。

二、輔助元素在初中幾何中的運用

新課程的改革，對學生的綜合素養要求也在不斷提升。在中考中，對學生知識能力的考查也更加全面。依照數學學科的屬性，幾何知識在中考考查中難度系數增大，題型較活。從幾個實例中來研究分析：

1.[2021銅仁市中考17題]如圖1，將邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉30°到AB1C1D1的位置，則陰影部分的面積是

分析：圖1陰影部分的幾何圖形是一個不規則的幾何圖形，若要直接求陰影部分的面積，較為困難。通過對題目和圖形的分析，結合旋轉的知識點，引入一條有效輔助線，就能為解決該幾何問題提供思路。如圖2，借助輔助線將空白部分的幾何圖形轉化為兩個全等的三角形，再運用幾何的基本知識，就能求出陰影部分的面積。

2.[2021遵義市中考12題]如圖3，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCE的邊CD與⊙O相切于點P，連接OA，OB，OP，AD，若∠COD+∠AOB=180°，AB=6，則AD的長是

分析：這類幾何問題就較為復雜，考察了圓與幾何圖形的聯系。這問題，很多學生就會顯得束手無策，不知從哪里找突破口。若是平時在聯系或者教師在教學活動中有輔助線這一數學思想的滲透，那么解決這類問題或許就有一些思路。如連接OP，過點O作OE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F，如圖4所示;利用所作輔助線和題目已知條件可以分別求出OA=OP=OB=，PD=2，證明四邊形PEFD是矩形，求出AF，DF，再利用勾股定理求出AD的長。

3.[2020銅仁10題]，如圖5，已知正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，BE=1，∠DAM=45°，點F在射線AM上，且AF=，過點F作AD的平行線交BA的延長線于點H，CF與AD相交于點G，連接EC，EG，EF.下列結論：①△EFC的面積為;②△AEG的周長為8;③EG2=DG2+BE2;其中正確的是______________________。

分析：主要對②進行分析，如果我們不引入輔助線，可以說這一問在初中幾何問題中解起來難度系數非常大，絕大部分同學只能靠猜了。要是能夠引入輔助線，問題的難度系數就會降低，能夠讓更多的學生拿到分數。例如過點F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，如圖6所示，根據已知條件我們可以得出四邊形AHFP是正方形、四邊形ABQP是矩形，利用△FPG∽△FQC，可得出線段PG的長度，算出線段AG的長度，再根據勾股定理，在Rt△EAG中，可得出線段EG的長度，從而△AEG的周長就求出來了。

三、輔助元素在初中幾何中的研究結論

通過對上述幾何問題探討，使得讓我們的教師和學生意識到，合理有效的構造輔助線，在解決數學問題中起到至關重要作用。用構造輔助元素解決問題，可以使學生的數學思想得到滲透、數學思維得到培養、學科綜合素養得到提高，進而提高學生分析和解決問題的能力。要想運用好構造輔助元素這種方法，應全面深入分析所給幾何圖形的特點、條件間的關系以及條件與結論之間的關系，通過對數學問題的綜合分析，再合理構造輔助元素?？偠灾?，輔助元素不僅為學生提供了解題思路，也為學生創造了數學想象的空間，這利于提升學生對幾何的探索能力和創新意識的發展，為后續的學習打下夯實基礎。

在上述運用中，我們發現有時候所添加的輔助元素不止一條，有兩條或者兩條以上，一些學生在解決這類問題有了添加輔助線的思想，但是在運用時存在的缺陷就是“怎么加、加哪里、加幾條”，要想運用好這種方法是有一定難度的。這就對我們的教師在教學中提出了更高的要求，需要教師們在平常的教學課堂上，能夠對某些幾何圖形進行不同的變換，注重培養學生的幾何空間想象能力，讓學生見識更多的幾何圖形，為學生在解決幾何問題時提供思路和方法。同時，我們的老師和學生們平時要多積累、多總結、多反思，體會其中的數學原理、數學思想，力求將這種方法廣泛應用。通過對學生創造思維能力的培養，讓學生數學綜合素養能夠全面提升，激發學生對數學學習的主動性，促進學生數學核心素養的發展。

參考文獻：

[1]魏國軍.輔助元素法解決數學問題的探索[J].中學生數理化·學研版，2012（04）：53.

[2]博海倫.構造輔助元素在解決數學問題中的探究[J].解題教學研究，2020（06）：50-52.