基于分數階非線性各向異性擴散的圖像去霧算法

吳 緒 玲

(西南交通大學希望學院信息工程系 四川 成都 610400)

0 引 言

隨著戶外計算機視覺系統在城市交通、自主導航和遙感探測等方面的應用越來越多，人們對監控系統拍攝出來的圖像清晰度的要求也越來越高[1]。但是，在真實情況下獲取的圖像可能會受到惡劣天氣、霧或霾等條件的影響，出現大量細節信息丟失的現象，影響后期圖像特征的提取[2]。作為計算機視覺系統的輸入源，圖像質量會對整個系統的性能產生直接影響。因此，國內外研究人員創建許多圖像去霧算法來降低這種影響。

目前，圖像去霧技術[3]大致可以分成兩類。一類是不考慮圖像降質原因,采取常規圖像增強算法如對比度增強[4]、直方圖均衡化[5]、基于Retinex理論的圖像增強[6]作為基礎處理手段的非物理模型圖像去霧技術，這類方法通過提高圖像對比度降低霧或霾對圖像的影響，但是也容易造成過增強或者信息損失現象；另一類是考慮圖像霧天降質原因，利用大氣散射原理復原真實場景的物理模型圖像去霧技術，如暗通道先驗方法[7]，這類方法畸變較小，去霧效果很好，但是計算復雜度較高?；谄⒎址匠痰母飨虍愋詳U散方法[8]是一種基于物理模型的圖像去霧算法，該方法通過對有霧圖像的多次迭代處理獲得較好的去噪效果。Nnolim[9]提出一種基于偏微分方程(PDE)的模糊圖像對比度增強算法，在適當的PDE框架中采用倒對數反射和梯度優化對圖像進行多尺度局部增強。Bai等[10]提出一類廣義各向異性擴散方程用于圖像去噪，首先對圖像強度函數G-導數進行傅里葉變換，然后將其引入廣義各向異性擴散方程，并利用G-導數算子的半群性質進行圖像去噪。Pushparaj等[11]提出一種基于局部灰度級的對數正態分布的各向異性擴散的全色圖像方法，利用擴散系數函數中的自適應閾值參數，自適應地調整了特征空間的低邊緣梯度對噪聲圖像去噪和平滑的影響，在保留了全色圖像特征的同時，有效地去除了圖像中的噪聲。Yin等[12]提出了一種基于分數階差分曲率的分數階各向異性擴散方程，利用傅里葉變換引入分數階導數的頻域定義，用于表征圖像中強度的變化，使得新的邊緣指示器更好地處理精細紋理。

針對大多數各向異性擴散方程在去霧過程中容易模糊邊緣細節的問題，本文提出一種基于分數階非線性各向異性擴散的去霧算法。使用從模糊圖像中提取的大氣光作為各向異性擴散過程中的初始值，然后通過迭代擴散過程計算精細的大氣光傳輸圖，能夠有效地突出去霧圖像的細節，而且在空間域中執行迭代過程使得算法在計算方面能夠簡單快速的實現。

1 分數階非線性各向異性擴散模型

1.1 分數階導數

(1)

式中:α,μ∈R且α,μ≠1；ξ表示積分變量；Γ(·)表示伽馬函數。當μ=0時，上述積分可轉換為經典的黎曼-劉維爾分數積分。本文將利用這個分數積分定義黎曼-劉維爾分數導數。類似于廣義分數積分，α階廣義微分算子可以定義為：

(2)

(3)

式中：0≤α<1。

偏分數階導數的x與y分量分別由初始大氣光傳輸圖與固定小尺度矩陣A和B的卷積計算得到，其中小尺度矩陣A和B表示為：

(4)

隨著迭代次數的增加，導數將根據大氣光傳輸圖中的精細化程序進行微調，卷積方法返回卷積層的中心部分與大氣光傳輸圖的尺寸相同。

1.2 各向異性擴散

Perona等[13]提出了基于熱擴散方程的各向異性擴散方程，用于對圖像進行平滑去噪。該模型克服了低通濾波方法在各向同性方向上平滑圖像的缺點，根據像素的分布情況有選擇地進行各向異性擴散。各向異性擴散模型是一種線性熱擴散方程的推廣，其橢圓型偏微分方程可以表達為：

(5)

在非線性各向異性擴散中，擴散張量D根據濾波后的圖像u來定義：

(6)

Du(x,t)=cu(x,t)Id

(7)

(8)

2 算法設計

2.1 霧天成像模型

由Koschmieder準則[14]，霧天成像模型通?？梢员硎緸椋?/p>

I(x,y)=I0(x,y)e-kd(x,y)+I∞(1-e-kd(x,y))

(9)

式中：I0(x,y)和I(x,y)分別表示為無霧圖像和有霧圖像在像素(x,y)處的強度；k是與大氣相關的散射系數；d(x,y)是場景與相機的距離；I∞表示大氣光或者天空強度；e-kd(x,y)表示透射率圖，一般由t(x,y)表示。在無霧圖像時，k≈0；但是在模糊圖像中，k≠0是不可忽略的量。因此，式(9)中的第一項表示直接衰減量，使得場景輻射在介質中發生衰減，對比度降低；第二項表示大氣光傳輸圖A(x,y)，場景顏色通常會因為大氣光傳輸圖的發散而發生變化。

通過將天空強度取為1，模糊圖像標準化后模型表示為：

I(x,y)=I0(x,y)(1-A(x,y))+A(x,y)

(10)

可以看出，為了將模糊圖像恢復至無霧圖像，需要精確估計A(x,y)。

2.2 去霧算法實現

平滑是圖像恢復和增強的一種重要的技術手段，但是傳統的平滑濾波方法容易造成圖像紋理和邊緣細節的丟失。為了避免濾波過程中的圖像細節的損失，本文采用基于分數階導數的各向異性擴散理論自適應地估計大氣光傳輸圖A(x,y)。該方法既克服了純各向異性擴散方程在平滑區域因過度擴散導致的階梯效應，也避免了整數階PED模型在去噪方面效率低的問題，而且分數階模型能夠通過平滑程度和平滑方向來穩健地控制平滑效果。

設c是擴散常數，t表示時間，各向異性擴散表示為：

(11)

與式(11)相關的能量函數為：

(12)

(13)

對于歐拉-拉格朗日方程的最小值問題，可由下列方程計算得到：

對于任意函數η，假定：

(14)

則：

(15)

(16)

當α=1時，式(16)為標準Pietro-Malik模型，α=2為四階各向異性擴散模型，本文采用分數階擴散模型，即1<α<2。

式(16)可以根據梯度下降法求解：

(17)

初始條件為A(x,y)，t→∞時獲得最終解。但是，在數值求解的過程中，一般選擇在去霧和邊緣細節完好保存兩者之間的最佳折衷時停止迭代。

對于實際模糊圖像，首先假設初始離散圖像A的像素尺度為m×m，像素從(0,0)開始，以均勻間隔Δx=1和Δy=1進行采樣。

假定K1、K2是空間域中的純對角運算符，定義為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

因此，提出的去霧算法估計大氣光傳輸圖的偽碼如算法1所示。

算法1基于空間域分數階導數的各向異性擴散

輸入：初始大氣光傳輸圖A(x,y)，最大迭代次數nmax，α和Δt=4-α。

1.n=0時，輸入u0=A(x,y)，nmax，t=kΔt

forn=0,1,…,nmax,do

3. 計算hxn、hyn；

5. 計算un+1=un-gn×Δt；

End for

6. 返回A(x,y)=un。

(24)

式中：c∈(r,g,b)。上述方法也適用于灰度圖像，唯一不同的地方是初始的大氣光傳輸圖。

圖1 本文去霧算法流程

3 實 驗

所有實驗在一臺配置為CPU Intel Core i7-4700 MQ-2.4 GHz@6 GB RAM的機器上執行，所有測試均在MATLAB 2017a環境下實現。選取數字圖像處理常用的七幅圖像，即Forest、Wheat、Tomb、Ny17、Swan、N6和Train作為驗證算法的測試圖像。這些圖像具有不同的紋理細節，并且圖像中含霧量也有所不同，像素尺寸為256×256。在本文研究中，分數階參數α取1.8較為合適。將測試結果與基于高斯過程回歸(GPR)去噪算法[2]、基于偏微分方程(PDE)去噪算法[9]、廣義各向異性擴散方程(GAD)去噪算法[10]和基于核回歸模型(KRM)去噪算法[15]。

3.1 主觀分析

圖2-圖3給出了幾種不同去霧算法在Forest和Train兩幅圖像中的定性結果。這些定性結果驗證了本文算法的恢復圖像明顯優于其他四種現有算法。使用GPR[2]和PDE算法[9]獲得的結果在局部區域存在低對比度的現象，使用KRM算法[15]獲得的結果沿邊緣具有白度，而使用本文算法獲得的結果對比度較高，邊緣平滑性更好。因此，綜合來說，本文算法成為圖像恢復的更優選擇。

(a) 有霧圖像 (b) PDE[9] (c) KRM[14]

(a) 有霧圖像 (b) PDE[9] (c) KRM[15]

3.2 客觀分析

為了驗證本文去霧算法的性能，采用對比度增益(CG)，色度指數(CI)和對比噪聲比(CNR)三個客觀指標對測試結果進行評價。

對比度增益CG是定義有霧圖像和恢復圖像的平均對比度之間的差異，該值越高，表示恢復圖像的對比度質量越好：

(25)

色度指數CI估計恢復圖像中的顏色質量。通常，有圖圖像可能具有更多的白度，導致圖像的CI值較小，RGB空間圖像的CI值的計算公式為：

(26)

式中：σ、μ分別表示圖像的標準差和平均值；I1=IR-IG，I2=0.5×(IR+IG-IB)，IR、IG和IB分別表示圖像I在亮度、色調和飽和度空間上的值。

對比噪聲比CNR是指兩個相鄰區域之間信號強度差異與圖像噪聲的比率，常用來評估細節檢出的可能性，信號強度差異越大，圖像噪聲越小，CNR則越大：

(27)

式中：SA、SB分別表示區域A和B的信號強度；σN是圖像噪聲的標準差。

將本文算法與四種不同算法的性能進行比較，圖4-圖6分別給出了不同算法在CG、CI、CNR方面的測試結果?？梢悦黠@看出，本文方法在CG、CI、CNR三個指標上比其他去霧方法表現更好，明顯地體現出本文方法在去霧方面的優越性。

圖4 不同算法在CG方面的性能表現

圖5 不同算法在CI方面的性能表現

圖6 不同算法在CNR方面的性能表現

將本文算法與基于傅里葉域[10]的分數階各向異性擴散算法所花費的計算時間進行比較。從表1中可以看出，本文算法所花費的時間不到傅里葉域算法所用時間的一半，計算效率大大提高。

表1 基于空間域和傅里葉域算法的計算時間

4 結 語

現有各向異性擴散方程可以有效地恢復模糊圖像，但是在去霧過程中容易出現模糊邊緣細節的現象。針對這一問題，本文提出一種基于分數階非線性各向異性擴散的去霧算法，通過對擴散過程進行多次迭代來精細估計大氣光傳輸圖。實驗結果表明，本文算法在多個指標方面優于其他算法，而且在有效突出去霧圖像細節的同時，計算效率也得到提升。