李喜才
摘 要:函數的單調性是函數的一個最重要的性質,沒有之一,也是高考重點考察內容,對于熟悉的基本初等函數單調性,我們是容易確定的,但對一些超越函數,特別是含參數函數的單調性,就不那么容易確定了,這時就需要借助導數這個工具來研究含參數函數的單調性,本文介紹利用導數研究含參數函數單調性分三種類型。
關鍵詞:導數;參數函數;單調性
利用導數研究函數單調性的步驟:(1)先確定定義域;(2)求導,找出所需函數;(3)確定參數分類討論的臨界值;(4)分析導函數零點,畫出導函數圖像。
類型一;導函數為含參的“一次函數”類型
例1.(2015年新課標全國Ⅱ卷)已知函數(1)討論函數的單調性.
分析:函數定義域為,,令
決定導函數符號的部分是,是一次函數類型,所以分類討論情況分為以下三類;
解:函數定義域為,,令
當時,由,得,
即,則在上單調遞增
當時,①當時,,即,所以在上單調遞增,
②當時,,即,所以在上單調遞減。
綜上,當,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減
例2(2012年新課標全國卷)已知函數,(1)求的單詞區間。
分析:,觀察函數的圖像,共同點:定義域內單調性明確,函數最多有一個零點,令,所以可以看成是“一次函數”類型
解:函數的定義域為R,,令,則,又因為,所以分類討論的臨界值為0,分類討論情況為以下三類:
當時,所以的單調增區間為,無單調遞減區間;
當時,若,則.當時,,當,
所以的單調減區間為,單調增區間為
綜上,當,的單調增區間為,無單調遞減區間;
當時,的單調減區間為,單調增區間為
類型二:導函數為含參的“二次函數”類型
例3(2018年新課標全國Ⅰ卷)已知函數(1)討論函數的單調性。
分析:函數的定義域為,,決定導函數符號的部分是,是二次型函數
解:函數的定義域為,,令
(觀察導函數表達式)
當時,即,所以在單調遞減
當時
①當,即時,有兩個不等實根,即
①當,所以在和單調遞減;②當時,,在單調遞增。
綜上,當時,在單調遞減;
當時,在和單調遞減,在單調遞增。
例4.求函數的單調區間
分析:,
是“一次函數”類型
故可看成“二次函數”類型。當時,,由,找到分類討論的臨界值為0.
解:函數的定義域為R,,
當時,,的單調遞減區間為,單調遞增區間為
當時,時,(比較導函數零點的大?。?/p>
①當,即時,的單調遞增區間為和,單調遞減區間為
②當,即時,的單調遞增區間為,無遞減區間。
③當,即時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為
綜上,當時,的單調遞減區間為,單調遞增區間為
當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為
當時,的單調遞增區間為,無遞減區間,
當時,的單調遞增區間為和,單調遞減區間為
類型三:導函數為含參的“其它函數”類型,需二次求導轉化到前兩種類型
例5.已知函數,若函數在區間上有最值,求實數的取值范圍。
分析:,不是“二次函數”類型,二次求導化為“一、二次函數”類型
解:函數的定義域為,,令
當時,,即在上遞減,此時,要函數在區間上有最值,則只需有零點即可,即,即
當時,,
①當時,,在時恒成立,即在上單調遞增,,
即,即在上單調遞減,不存在最值,舍去
②當時,,時,恒成立,即單調遞減,,
即,即在上單調遞減,不存在最值,舍去。
③當時,,即在單調遞減,在單調遞增,,即,即在上單調遞減,不存在最值,舍去。
綜上,實數的取值范圍是.
參考文獻:
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2019501186224