毛雯慶 江明澤
摘 要:Minkowski不等式在微分方程和LP空間中有著廣泛的應用,本文主要是基于Minkowski不等式的一些推論,以便于改進已有的結論。
關鍵詞:Minkowski不等式;不等式;LP空間
引言:
Minkowski不等式是經典的不等式之一,它在數學各方面分支上都有重要的應用。自從發現這個不等式起,這一百多年來,人們對它的研究一直沒有中斷。正是其重要性,研究者們對它的探索也很多,相繼得到了Minkowski不等式在數學各領域的不同表達形式及其種種改進、推廣和應用。本文就Minkowski不等式的離散形式和積分形式作了一些推廣。
定理1? 若且,則
當且僅當序列和成比例時等式成立.
這個不等式稱為Minkowski不等式.
證明? 首先有恒等式
對于相加得到
根據不等式,對于有
注意到,兩式相加得到
同理可得積分形式的Minkowski不等式:設
則有
定理2 積分形式的Minkowski不等式的逆:
設 則
即
證明? 如果,不等式顯然成立.若或有一個不恒為零,則
令應用不等式:
在上述不等式兩邊同時除以即可得
定理3? 設則
證明? 由Minkowski不等式
證畢.
定理4? 若函數在閉區間上連續,且則
證明? 令即由不等式
即
令得到個不等式相加有:
則有
故
證畢.
參考文獻:
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作者簡介:毛雯慶(1996.07-),女,漢族,學生,數學碩士,專業:基礎數學,研究方向:偏微分方程。
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