以問題為抓手，引領學生對乘法分配律的深度建構

魯樂芳

摘 要：乘法分配律是運算定律教學的難點，也是學生的易錯點。本文直面學生對分配律知識掌握欠缺這一現象加以分析，在教學實踐中踐行了以問題為抓手，將直觀圖形與抽象的定律有機的融合：“在導入中，問題自提，追本溯源，立足本質;在探究中，問題引導，分類對比，抽象模型;在運用中，問題質疑，多維思考，全面認知;在反思中，問題激活，轉換視角，形成體系”。引導學生積極主動的探尋運算定律的內涵，精準地把握乘法分配律的本質，進而深度建構乘法分配律。

關鍵詞：乘法分配律;問題;融合;深度建構

一、常規教學的困惑與思考

“乘法分配律”相比乘法交換律、結合律這兩種包含單一運算的定律，其內容和外在的形式都比較復雜，造成學生對知識不宜歸納總結，更難的是乘法分配律擁有豐富的變式、寬廣的范圍，又促使學生難以理解、苦于應用。那如何突破難點？我們從教與學兩個方面加以分析。

1.學之難，教之困

從四年級學生的年齡特征看，建立分配律的概念并不是一件容易的事。學生不了解分配律兩邊的算式為什么會相等，也不知道分配律可以用在什么地方？

內在因素：來自分配律本身的復雜性——除了運算符號與數字排列的不同外，分配律有四種不同的形式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×c+b×c=（a+b）×c，（a-b）×c=a×c-b×c，a×c-b×c=（a-b）×c，包括“合”和“分”的雙向關系，以及左右分配的差異性，每一種形式的背后，代表著不同的含義。學生常誤以為從“合”到“分”的展開過程是分配律，而“分”到“合”的還原過程則是結合律。此外，學生對乘法分配律進行學習時，外部刺激對其學習所產生的干擾相當的大，學生很少會去主動地深度剖析乘法分配律的本質，而更多的在關注乘法分配律的“形”，忽視對“神”的理解，因此在實際計算和應用時錯誤百出，給乘法分配的掌握造成了極大的困難。

外在因素：一方面受到教材與教學的影響。人教版數學乘法分配律的引入是從解決問題中用兩種方法解答，然后利用結果相等來畫上等號，這樣的方式并不足以建立兩式相等的關聯性，學生也不能借此了解分配律的意義;另一方面，從教師方面看，雖然教材中涵蓋了許多分配律的相關內容，但老師未必仔細研讀和思考過：“問題出在哪里，應該怎么教？”有些含有分配律“影子”的內容，我們老師往往一筆帶過，從而使學生也不了解分配律的用法又從何而起。在引導分析和感知運算定律內涵的時，目光也通常被工具性層面所束縛，對關系性層面缺乏解讀。

2.教學思考

教師在圍繞乘法分配律組織和開展教學工作的時，通常將與乘法分配律特征相符合的若干等式展示出來，讓學生對這些等式進行觀察，對其相似之處進行找尋，但對其本質解讀不多，學生只能模仿知識點卻不知道此知識點的由來。因此我們有這樣的思考：

思考一：可否用乘法的意義來說理，對于學生來說，用乘法意義說理是不是最容易理解？能不能把課本情景與幾何直觀相結合，借用已有幾何圖形的知識，使說理直觀化，幫助學生真正理解乘法分配律的內涵。

思考二：可否引入面積的含義來直觀幫助學生理解，著重引導學生借用數形結合的方式，在有效之形的輔助下，通過猜想、驗證解釋所發現的規律，打通新舊知識的縱橫聯系，進一步抓住知識間的共性與對其本質的認識。

帶著這樣的思考，我們進行了新課的嘗試。

二、教學改進與思考

讓學生清晰地架構起乘法分配律的知識模型，這是教學的本質，也是學生理解的基礎。但從現行人教版教材的編排體系看，教材所彰顯出的情景對學生理解知識的促進功效相當有限。因此在教學實踐過程中，我們對教材情景進行了適當的改編，讓學生在問題的驅動下，獨立自主的參與富有挑戰性的學習活動，使其經歷乘法分配律知識的形成過程，進而促其對乘法分配律有清晰、深刻的理解。

1.問題自提，追本溯源，立足本質

在設計教學活動的時，教師要對學生既有知識經驗有一個精準的把握，既讓教學活動真正成為教學的起點，又能使學生根據已有的知識自我提出問題，充分表達自己的思考和發現。

（1）從學生已有經驗提出問題，激活思維

問題是學生思維的起點，教學中，教師應根據學生已有知識與經驗合理設置情景，讓學生自提問題，激發其探索欲望。

教學片段一【問題導入，引發思考】

出示圖片，提問：（1）從圖中你得到哪些信息？（2）根據這些信息，你能提出什么數學問題？

生：芍藥花一共有幾朵？牡丹花一共有幾朵？

生：兩種花一共有多少朵？芍藥比牡丹多了多少朵？

師：同一情景，大家從不同視角提出了不同問題，棒極了。我們先來研究芍藥和牡丹花一共有多少朵。該怎么解決呢？請獨立思考，在匯報交流。

學生匯報。

通過交流得到兩個綜合算式：（12+8）×9，12×9+8×9。

師：同學們說說每一步表示什么意思？對比一下，這兩個式子有什么相同的地方？

生：三個數相同，結果也相同。（12+8）×9=12×9+8×9。

師：如果不計算，你還能知道他們的結果相同嗎？（引導學生結合圖形圈一圈，從縱向和橫向觀察，發現20個9可以分成12個9和8個9。）

師：現在看來，縱向和橫向觀察都可以通過乘法意義對兩個算式的相等關系做出解釋。

在學生提出的問題中選出與本課新知有關的問題讓學生自主解答，通過圈一圈領悟乘法的意義。立足于“形”的角度進行“數”的刻畫，以簡單形象化方式來處理抽象化的數學概念，使其能夠結合生活經驗對乘法分配律的形成過程有所感悟。

（2）基于數學知識內在結構，合理猜想

算法的不斷延伸形成了運算定律，重新構建了四則運算的順序。教師要架構一些輻射性問題，讓學生進行合理的猜想，準確遷移，溝通知識間的本質聯系。

教學片段二【探究交流，提出猜想】

師：剛才同學們用圈一圈的方式解釋了兩個算式的相等關系。下面我們繼續研究。如果我把圖一抽象成長方形（投影逐漸抽象成如下圖二）你能求出兩地面積之和嗎？

師：請你畫一畫，能用長方形面積知識解釋為什么（15+10）×8=15×8+10×8等式成立嗎？

生：15×8、10×8分別算出兩個小長方形的面積，合起來就是整個圖形的面積。（15+10）×8是將兩個長方形視作一個大的長方形來計算其面積。15+10是大長方形的長，8是大長方形的寬，所以（15+10）×8=15×8+10×8。

將課件以動畫的形式將兩個長方形向一個大長方形變形的過程展示出來。

師：為什么能夠合成一個長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：你能透過此圖能將不同列式思路找出來嗎？這兩種列式的結果怎么樣？

師：根據長方形的面積不同計算我們找到了解決問題的新思路，一眼就看出兩道算式得出的結果是一樣的。

師：那大家是否思考過，可否利用面積的思路來解釋例題（12+8）×9=12×9+8×9結果大小為什么相等呢？

依次出示圖示中的兩個長方形，學生用面積意義解釋兩個算式的結果為什么相等。

師：長方形的長和寬還可以換成其它數嗎？

生：可以換成任何一組合適的數。比如（17+13）×12=17×12+13×12，也可以換成56×9+44×9=（56+44）×9......

學生先從解決問題和乘法的意義去解釋等式成立，再把直觀的示意圖圖抽象成長方形，引導學生從長方形的面積角度去說明乘法分配律是否成立。長方形的面積與乘法分配律貌似不相關，但它們的本質內涵是相通的。通過問題層層引導，充分運用數形結合和逆向求證的教學策略，溝通數與形之間的關聯，為其規律的探索，模型的創建提供有效思維途徑。

2.問題引導，分類對比，抽象模型

在概念形成教學時，要以數學方式來思考感知素材，在引導性問題介入下，有序分類的探討，追其根源，究其本質。

教學片段三【多元表征，驗證猜想】

師：剛才我們用長方形的面積來解釋兩個算式，同時又寫出了一些不同的算式，請你觀察這些算式，他們是否有共同之處？

生：每個算式都有一個共同的因數。

師：同學們很快找出了問題的關鍵點，這類式子結果相等，主要原因在于其兩邊都有相同因數，但這些不同算式之間有沒有其它內在聯系呢？

研究數據中存在的規律

請你仔細觀察：

問1：相等的算式，其左右兩邊數據所呈現出來的是何種特征呢？

問2：是不是在此種結構和數據特征同時具備的情況下，兩個算式所得結果一定相等呢？

b.研究規律的合理性

師：這樣的現象是巧合嗎？還是客觀存在的事實？你能用學到的知識解釋這一現象。

c.抽象概括乘法分配律

師：看來，此規律具有普遍性，那你能否像乘法交換律和結合律一樣，用一個式子來表示規律嗎？

生：如果我把上面的長方形的數據改寫成a、b、c，這些算式就可以寫成（a+b）×c=a×c+b×c。

（a+b）×c=a×c+b×c。

師：你們太棒了，這個就是我們今天要學的乘法中的一個重要定義——乘法分配律?？磥泶蠹医窈笠斫獬朔ǚ峙渎?，腦子中只要有這個圖，它既直觀好記，也容易理解。

從實例出發，以抽象方式向字母公式轉化，借零散個例來推導數學結論，讓學生遵從問題的指引，在不完全歸納過程中，有效的進行數學模型的構建。

3.問題質疑，多維思考，全面認知

每個學生學習能力不同，導致對知識的理解、運用能力也有所不同，所以課堂練習的設計既要適合每個學生的需求，使每位學生對知識有一個完整、全面的認知，又要讓學生學會多維思考，為后續學習提供思維的動力。

教學片段四【分層遞進，應用猜想】

（1）猜一猜。粗心的小婧在學完乘法分配律時，也試著寫了幾組等式，可是不小心被漏墨的鋼筆弄臟了，猜一猜她寫的等式左右兩邊原來是什么數？

（26+ ）×5=26×5+54×5

×（4+8）=25×4+25×8

32×7+×7=（32+68）×7

（2）幫一幫：開開和星星參加口算搶答比賽，兩人實力相當，你知道誰贏的可能性大，為什么？

第一輪：開開（46+54）×9 星星：46×9+54×9

第二輪：開開4×（25+12） 星星：4×25+4×12

（3）選一選：下面選項中的計算結果跟¨×32計算結果相同？

a、×30+×2 b、×32+1 c、×31+

d、×4×8 ? e、×2+×10+×20

在學習活動中增強學生的問題意識，有助于學生求知狀態的改善和學習成效的提升。這組練習的設計注重回顧舊知，整合知識。問題（1）對乘法分配律的起點給予重點關注。問題（2）關注乘法分配律在生活中的運用，了解乘法分配律的最終歸宿—-簡便計算。問（3）從不同的視角解讀乘法分配律，在這樣的問題中每個學生都能積極主動參與，盡情地表達自己的想法，從而進入更廣闊的探索空間。

4.問題激活，轉換視角，形成體系

教師在引導學生的過程中。既有縱向透視，也要橫向溝通，由點入線，由線入面，由面入體。把知識置于舊知網絡體系中，然后利用問題，激活思維，幫助學生尋找新舊知識之間的本質與共性，建立結構聯系。這樣的數學學習活動不僅有利于學生全面深刻地理解數學知識，而且有利于學生對數學知識的整體認識和宏觀把握，促使學習走向深度。

（1）打通知識通道，感受新舊知識的聯系

學生對于運算運用兩數之和乘一個數等于這個兩個數分別乘同一個數，再求和這個運算定律進行計算是有經驗的，只不過在本節課學習之前并不知道叫做乘法分配律。所以教師在引導學生學習新知的同時，回顧已學知識，使新舊知識有機融合，構成一個知識網絡。

教學片段五【反思回顧，溝通聯系】

師：乘法分配律對于我們而言并不陌生，它在現實生活中是無處不在的。觀察這些過程，你發現了什么？

三上《兩位數乘一位數筆算》

三下冊《兩位數乘兩位數筆算乘法》

三上冊——《長方形周長》

此教學片段依托于乘法分配律，以設問為切入點，指引學生全面整合兩位數與一位數乘積的口算及筆算法則，三位數與兩位數乘積等數學運算知識點。借用新知對舊知進行重新審視，將新舊知識關聯徹底打通。

（2）回歸內容體系，完成規律的拓展

教學的關鍵就是把知識的結構化和體系化，從更高的視角全面的看知識的地位和作用，明白知識的來龍去脈，讓學生深刻的探究和了解知識的本質。不僅可以讓知識簡單易理解，方便遷移，而且能逐漸的形成整體結構，去學習的方式和能力，慢慢的學會學習，最終形成素養。

教學片段六【拓展提升，發展猜想】

師：在這些長方形當中，哪兩個長方形可以拼成一個較大的長方形？拼成后的圖形面積是多少？請大家拼一拼。

然后教師追問。如果要把（1）（2）（3）長方形拼成一個較大的長方形，（2）號的圖形該怎么變化？如果要改變（3）呢？（根據學生回答出示）

師：要求整個圖形的面積怎么列式？

生：12×7+12×7+10×7=（12+12+10）×7

12×7+12×7+12×4=（7+7+4）×12

師：觀察算式你又有什么發現？如果我在添幾個圖形，求它的面積還能這么算嗎？

看來乘法分配律不僅適用與兩個加數的和，還可以換成三個加數，四個加數也同樣成立。

追問：如果括號里的加號改成減號，這個規律還成立嗎？這是一個全新的猜想，大家能否按照剛才上課的思路，課后自己去求證。

讓數學模型得以升華，引導學生對乘法分配律的運用范圍進行進一步的探索，再次拓展乘法分配律，既兩數之差與某數的乘積，更加全面，深刻的認知乘法分配律，最終再在乘法分配律的輔助下，對問題進行分析和解讀，并最終獲得更為豐富的知識儲備。

上述研究只是立足于自身所面臨的實踐問題所展開的思考，雖然所得觀點并不一定正確，然而思考才是最重要的。我們相信，一節課的成敗與否，真正的靈魂在問題上，作為引導者，我們要靜下心來，認真審視教材，抓住每節課的教學目標、重點、難點，教材中任何涉及到與分配律有關的內容，都要放慢腳步加以停留，并重視分配律相關教材內容之間的內部連結，站在大系統中宏觀把握，整體設計適合學生的教學，方可真正的領悟到知識的靈魂。

參考文獻：

[1]巢洪政，解決問題的策略及其教學簡論，2009.6

[2]郭立峰，《小學教學參考》， 2021.2

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