方林
摘要:參變分離法是求解不等式恒成立問題的常用方法,可利用等價變形,使得參數與變量分離于不等式的兩端,從而轉化為基本不等式的最值,來避免變量分類討論。
關鍵詞:基本不等式;恒成立;參變分離;分類討論
在高一數學學習中,經常遇到含有參數的某些函數、方程、不等式,并要求確定參數的取值范圍題目。同學們在解決此類問題時總有這樣的猶豫:到底用分類討論方法,還是用參變分離法?雖然可以采用對變量進行分類討論的方法,逐步排除不合理要求的變量范圍,最終得出變量的范圍,但是比較繁瑣,不易做到最終結果。
參變分離法廣泛適用于不等式恒成立取值問題,參變分離后可將不等號的兩側分離為參數、代數式,只需求一側代數式的最值。在求解代數式的最值問題時經常涉及到基本不等式,高一許多不等式恒成立取值問題經過整理、變形、換元等都可以轉化為基本不等式,然后利用基本不等式求最值,進而可以求出參數范圍。
小結:參變分離是避免參數分類討論的方法技巧,是不等式恒等轉化的策略,將不等式分離為不等號兩側是不同的結構,一側為參數的代數式,另一側為變量的代數式,通過基本不等式分析來求代數式最值,再轉化求參數取值范圍。教學中可引導學生對常見的恒成立問題進行條件轉化、方法探究,生成常見的最值情形。
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