放置狀態及變參數對熱聲不穩定工作特性分析

劉浩哲, 嚴紅

(1.航空工業西安飛行自動控制研究所, 陜西 西安 710000;2.西北工業大學 動力與能源學院, 陜西 西安 710072)

熱聲不穩定現象普遍發生在航空發動機、火箭發動機和燃氣輪機等高性能動力裝置中，這一現象很早就引發了國內外的探究[1-6]。早在1878年，Lord Rayleigh[7]就定性解釋了熱聲振蕩即熱釋放脈動與管內聲學脈動之間耦合造成一種熱聲振蕩現象。但由于熱聲學集合了聲學、傳熱學、流體動力學等多個學科，導致其研究內容復雜，研究難度大，故對于熱聲振蕩機理的完整解釋至今仍存在較多困難。

Rijke管是典型的熱聲不穩定系統，由于其結構簡單，故經常被用于燃燒熱聲不穩定性的機理研究[8-10]。陳福連[11-12]發現熱聲頻率與Rijke型燃燒器的尺寸，形狀和氣體溫度分布有關，與燃料性質無關，且當聲能在管內的耗散等于聲強梯度的負值時，系統就維持熱聲振蕩的狀態。韓飛等[13]用電加熱放熱的經驗公式發展了一種預測熱聲不穩定發展的模型，且模擬結果與實驗結果基本一致。慕尼黑工業大學Hantschk等[14]通過設立恒溫板疊，首次對Rijke管內起振進行了模擬，并對管內高次諧頻與換熱規律結合進行研究。清華大學嚴紅等[15]采用TVD格式模擬燃燒器，對管內的二維脈動流場及溫度場進行分析，在入口加入周期性脈動速度，但與實際情況的自激振蕩有不符之處。浙江工業大學鐘英杰等[16]對Rijke型燃燒器研究，采用內外流場耦合的建模方法研究了Rijke管內流場，得到管口壓力及聲泄漏值，發現兩端收口燃燒器對燃燒器設計有參考意義，但也因此造成計算量大大增加。浙江大學李國能等[17]對水平四分之三波長Rijke管計算模型使用多孔介質熱源模型進行模擬，分析了工管內各參數對管內振蕩影響的熱聲振蕩規律。Rijke管作為燃燒不穩定的基礎，如果要進一步應用于各動力裝置中，就必須考慮變角度工作對燃燒室振蕩的影響?，F有的變角度Rijke管實驗大多無法實現起振[18-20]，這就需要從數值模擬方面嘗試對該實驗中產生的熱聲機理進行解釋。本文基于CFD采用數值模擬方法，對3種不同放置態下的Rijke管熱聲不穩定振蕩進行考察，并通過對比三者間的振蕩參數進而分析重力對熱聲振蕩現象的區別及影響，以及由重力產生的熱浮力對管內振蕩的影響，并對加入溫度對動力黏性系數和導熱系數的變參數影響進行對比考察，提出了多模態及變參數對Rijke管振蕩的具體影響及結論。

1 數學模型

本文在Kunz[21]的實驗裝置基礎上發展了Hantschk和李國能構建的物理模型。實驗采用方管，但前人研究[22-24]表明，當管聲波波長和方管截面最大尺寸比小于0.5，方管內聲波傳播可認為與圓管相似。

模擬的Rijke管如圖1所示，二維計算區域長0.989 m，寬0.015 8 mm。實驗中加熱絲得到的平均加熱功率為54.5 W，在模擬中對應設置的加熱絲溫度為745 K。左端進口截面為聲學封閉端，給定均勻的進口速度為0.15 m/s；右端為聲學開口，給定壓力為101 325 Pa。由于實驗中所采用的電熱絲建模較為復雜，根據前人研究，在數值模擬中平行板疊代替熱源，這種方式也曾被Hantschk采用。板疊置于管中間(x=0.495 m)，該模型對應第二階熱聲不模式。由文獻[25]結論可知，板疊間距取2～4倍熱滲透深度較好，更易激發熱聲振蕩，故選取對應孔隙率為0.63。另外，Heckl認為，壓力在管口開口端存在輻射和反射，并不是嚴格的波節，但由于管口效應對管內振蕩影響不明顯，故在本文中對此均做以簡化。由于主要探究的是放置狀態對Rijke管振蕩的影響，故考慮管壁絕熱。模擬的工質為空氣。所有模擬首先均進行穩態計算，待管內流場穩定后，進行非穩態計算，在入口給定大小為100 Pa的瞬時擾動[15]。

圖1 物理模型圖

2 計算結果及分析

本文首先對3種不同放置狀態下的Rijke管進行考察，設置3種放置狀態時主要通過設置商用軟件Fluent17.1中重力加速度選項。對于忽略重力狀態，即不對該項設置，而豎直放置和水平放置的設置依次對應為x=-9.8 m/s2和y=-9.8 m/s2。

另外，本文依次考察了動力黏性系數和導熱系數對管內振蕩的影響。具體參數設置在氣體特性中對黏性系數設置為薩特蘭公式，并對導熱系數采用分段多項式置入參數。

2.1 不同放置對Rijke管振蕩影響及分析

2.1.1 忽略重力下Rijke管振蕩變化

圖2給出管中心位置處(x=495 mm，y=7.9 mm，后述監測點統一為此)的壓力和軸向速度的起振，最終達到極限周期的整個過程。值得注意的是，初始的100 Pa擾動只作用在瞬間，在下一個時間步長已經不再存在[16]。

通過對圖2分析，發現Rijke管內壓力和軸向速度，兩者均在約1 s后迅速加強。在2.7 s時管內各項參數振蕩均呈現飽和狀態，熱聲學稱之為極限周期。其中，壓力振幅已超過600 Pa；速度振幅為0.43 m/s。溫度和密度的振蕩分布與前兩者類似，故在此不再贅述，且溫度振幅約為24 K，氣體密度振幅則為0.042 5 kg/m2，這一結果也符合設定的理想氣體公式。通過快速傅里葉變化捕捉到的管內頻率為298 Hz。

圖3給出了管內壓力和速度的相位分析和壓力與密度的相位分析?？梢钥闯?，壓力峰值領先速度峰值0.000 88 s，對應角度為93°，故管內壓力領先軸向速度四分之一周期，這也符合瑞利準則。根據圖中的參數對比，發現壓力與溫度也基本同相，這也從側面說明在最大壓力輸入熱量，在最小壓力時抽取熱量可維持系統的達到極限周期時的熱聲振蕩。

圖3 忽略重力時的相位分析

2.1.2 豎直放置下Rijke管振蕩變化

與前述對應，本章結果是在僅考慮動量方程中x方向質量力的基礎上得到的[17]。因此本文著重考慮管內關鍵參數壓力的變化，其他參數之后不再贅述。

圖4給出了豎直放置時，Rijke管中心位置處的壓力最終達到極限周期的整個過程。其中，壓力振幅約為600 Pa。同樣的，由圖4中的壓力振幅即可捕捉到管內振蕩頻率為298 Hz，與忽略重力時的頻率相同。

圖4 豎直放置時的壓力振幅

2.1.3 水平放置下Rijke管振蕩變化

接著，在僅考慮動量方程中y方向質量力的基礎上得到管內壓力振蕩變化。其中，圖5給出了考慮水平方向時，Rijke管中心位置處的壓力最終達到極限周期的整個過程。

圖5 水平放置時的壓力振幅

其中，壓力振幅略小于590 Pa。同樣，可捕捉到管內頻率為297 Hz，與前述2種情況的頻率基本一致。這也證明無論是何種放置情況，基本對振蕩頻率沒有影響。實際上，對于封閉開口的聲學系統的熱聲頻率解析解為f=c/l(不考慮模態的情況下)，其中c為聲速，l為管長。且同一氣體的聲速隨溫度和壓力變化很小，故多數情況下，管內壓力頻率變化并不明顯。

但仔細對比可發現圖2和圖5存在較明顯的變化區別。圖2的振蕩中從過渡段至極限周期的過程中存在較明顯凸起，之后壓力振幅存在較小程度減弱。這主要是由于在忽略重力時，板疊附近溫度梯度較高，不存在由于氣體重力產生的機械耗散，這部分熱量在短期內無法與管內最終達到穩態的振幅相平衡，故在達到飽和后振蕩通過減小振幅的耗散形式來達到管內真正的平衡，這一點與圖5有較大區別。圖5在這個過程中的變化相對平滑，這也印證了由于重力產生的機械振蕩耗散會使得達到平衡的時間縮短且不會出現凸起，整個過程平緩有序。

圖6是將忽略重力、豎直放置與水平放置3種情況的壓力振幅進行對比。顯然，前2種情況下壓力變化基本一致。但進一步觀察發現，飽和后豎直方向比忽略重力所產生的壓力略大約5～10 Pa，這主要是由于重力方向產生的熱浮力會促進振蕩，進而增大壓力振蕩的幅值。

圖6 3種放置狀態時壓力振蕩情況

進一步比較水平放置下與前兩者的壓力情況。發現水平放置時，壓力從起振時比忽略重力及豎直放置時的壓力振幅均要小且起振時間變長。在達到飽和后明顯比忽略重力下的壓力要小一些，并一直在保持。仔細觀察可以發現，在即將達到飽和時，水平放置明顯比前兩者的壓力均要小約20～30 Pa，且在飽和后繼續維持這個壓力差。另外如前所述，豎直放置和水平放置過渡段的變化基本一致，在此不再贅述。

通過之前的對比發現，豎直放置與忽略重力的壓力振蕩幅值基本相差不大。但由于氣體需要克服重力振蕩，導致豎直放置時的壓力振蕩與速度振蕩均相比于忽略重力時兩者的情況會變小，且振蕩也不如水平放置時劇烈，雖然豎直放置會有熱浮力影響，但因此產生的速度也相對入口速度較小，對于振蕩影響不明顯。而對于水平放置，由于重力產生的加速度與入口速度進行疊加導致的結果是總體運動趨勢向管口的兩邊，進而會使得振蕩變慢，振幅減小，導致起振相對忽略重力慢一些。而重力產生熱浮力的影響也必然會導致管內壓力速度分布的不均，即管的下端堆積的氣體更多，且熱源附近的溫度較大，熱浮力明顯，遠離熱源的位置熱浮力減弱。綜上所述根據所得結果，發現重力對管內振蕩劇烈程度的影響要比熱浮力所導致的熱聲振蕩影響大，至少從結果看影響有限。

Kunz的實驗如前所述，其實驗結果在表1中給出。而浙大的李國能則采用Fluent6.1對Kunz結果進行數值模擬，本文在設置上與其一致，僅在熱源作以優化，將多孔介質修改為平行板疊。根據表1對比，發現結果與實驗基本相符，但均存在一定差別，由于實驗需要在管壁打孔對各參數進行測量，且測量設備不可避免地存在一定的阻尼，故會導致模擬結果與實驗的誤差。而文獻結果之所以在振幅上相差巨大，主要是由于其所建立的多孔加熱介質模型不夠精確。而本文在考慮熱滲透深度的基礎上僅僅加入十個板疊，在對流換熱時必然導致更多熱量散失，進而使得振幅降低，且由于本文網格設置相比文獻要稀疏，結果會影響計算精度。但由于本文著重考慮各因素和參數帶來的規律性，故結果對規律影響不大。

表1 水平放置CFD模擬與文獻及實驗對比

在結果對比中，數值模擬結果基本滿足要求，為之后的參數計算提供可靠性保證。

2.2 黏性系數對Rijke管振蕩影響及分析

前述工質為空氣，故模擬時黏性系數恒定為μ= 1.724×10-5kg/(m·s)，但在實際管內振蕩過程中，管內氣體黏性系數一般會隨著溫度增大而增大。為精確考察黏性系數對Rijke管振蕩全過程影響，探究影響管內振蕩其他因素，在模擬中加入薩特蘭公式(Sutherland formula,SF)。通過該式可得不同溫度下對應的黏性系數，且適用范圍為T<2 000 K。其中，μ0為參考值，一般為1.716×10-5kg/(m·s)，T0為參考溫度，一般為273.11 K，s為有效溫度，一般為110.56 K。

(1)

現僅通過對比忽略重力時在加入薩特蘭公式前后，Rijke管中心位置處的參數變化，進而分析黏性系數對熱聲振蕩的影響。由圖7可知，其基本變化與圖2相似，圖中壓力振幅約為385 Pa，溫度振幅為16 K。且其第二階熱聲不穩定的模式頻率約為296 Hz，略低于黏性系數為定值時的頻率。對于壓力來說，發現加入薩特蘭公式后的管內振蕩明顯變慢。

圖7 薩特蘭公式與黏性系數為定值時的參數對比

黏性系數為定值時，Rijke管約在2.7 s達到飽和，但加入薩特蘭公式后，管內在4.9 s后才達到飽和。且振幅相比黏性系數為定值的小了約200 Pa。同樣對于速度來說，薩特蘭公式下的振幅相對黏性系數為定值時的振幅小了約0.2 m/s。

總的來說，由于薩特蘭公式中，管內黏性系數隨著溫度變大，故當溫度增大時，管內的損耗也同時增加，為了維持管內振蕩，因此導致振幅會減小，管內振蕩程度減弱。因此管內需要較長時間進行調節振蕩飽和后的情況，故達到飽和的時間相應增加。

但值得注意的是，對于溫度，雖然加入薩特蘭公式后，管內振蕩溫度明顯減小，振蕩減弱，但振蕩溫度的最大值比之前要略微大一些。這是因為，雖然黏性系數的增大導致機械能以熱量的形式耗散，但這部分熱量并不會很快從管內出去，所以這部分熱量會繼續堆積，由此導致管內的溫度會適當增大。在此，密度與溫度變化規律一致，因此不再贅述。

2.3 導熱系數對Rijke管振蕩影響的變化

除黏性系數以外，導熱系數對管內振蕩的影響同樣較大。前人一般在不影響結果分析的基礎上，將導熱系數擴大十倍來加速模擬計算過程。但實際上導熱系數同樣會隨著溫度的增大而增大，為更確切地得到貼近實際的結果，在薩特蘭公式基礎上，根據手冊[18]提供的經驗公式加入導熱系數隨溫度變化的經驗關系式,λ=A+BT+CT2，其中λ為導熱系數A=0.005 12，B=7.234 2×10-5，C=-9.220 7×10-9，溫度適用范圍200 K≤T≤1 500 K。

在薩特蘭公式基礎上，加入導熱系數隨溫度變化影響下，忽略重力時Rijke管中心位置時各項參數變化也不再贅述，其中壓力振幅約為1 000 Pa，速度振幅為0.6 m/s，溫度振幅為30 K，密度振幅為0.046 kg/m3。且管內各參數均明顯相比之前振蕩加快，約在0.5 s開始快速起振，飽合后振蕩劇烈。進一步對壓力做快速傅里葉變換，得到頻率為302 Hz。相比之前同種工況下的頻率明顯變大，說明導熱系數通過影響管內溫度進而改變管內頻率情況。接著，在考慮薩特蘭公式的基礎上，即黏性系數隨溫度變化時，再將導熱系數為定值和考慮導熱經驗公式的2種情況進一步比較。

如圖8a)所示，發現當導熱系數隨溫度變化時，無論從其起振時間還是飽和狀態下的振幅，都要遠大于導熱系數為定值時的情況。對于壓力，當導熱系數為定值時壓力振幅僅不到400 Pa，但當導熱系數隨溫度變化的時候，其振幅比其2倍還要大，且達到飽和的時間縮短了約二分之一。

圖8 薩特蘭公式下導熱系數隨溫度變化與定值時的參數對比

對比圖6發現，當黏性系數和導熱系數均為定值時，其壓力約為600 Pa，達到飽和的時間約為2.7 s，薩特蘭公式不僅減小振幅且拉長了飽和時間，雖然如此，當導熱系數和黏性系數均隨溫度變化，占主導仍然是導熱系數，其不僅加快達到飽和的時間(從2.7 s加快到1.6 s，且振幅從600 Pa增大到接近1 000 Pa)，這也充分說明導熱系數對于熱聲振蕩的影響要比黏性系數的影響大。這一點通過溫度的振蕩情況更加明顯，在圖8b)比對中可以發現，當導熱系數隨溫度變化時，其起振開始的溫度遠超導熱系數為定值時的溫度，約從720 K就開始起振，而導熱系數為定值時的起始溫度僅為691 K，溫度提高了約30 K，且振蕩劇烈，振幅超過30 K。

但前述中，導熱系數和黏性系數均為定值時，其溫度振幅僅為20 K，振蕩情況不如前者劇烈，且起始溫度更低。如之前所述，這充分證明了導熱系數是決定熱聲振蕩的主導因素，因此在工質及管材料的選取上，通常需要選取導熱系數隨溫度變化大，黏性系數則隨溫度變化小的材質，但文章僅探究工質為空氣時的情況，對應其他工質及管壁的耦合選取還需進一步討論。另外，這也說明當考慮導熱系數隨溫度變化的情況下，會讓三者振幅在極短的時間內快速增加，達到極為劇烈的振蕩強度，并且會增大水平狀態下的振幅，從而縮小振幅方面的差距。

圖9是忽略重力下，考慮黏性系數和導熱系數隨溫度變化與否綜合影響的情況。

圖9 忽略重力下黏性系數和導熱系數對壓力影響

從圖9可以更加直觀地看出當黏性系數隨溫度變化且導熱系數為定值時比兩者均為常數時的振幅縮小0.53倍，而比兩者均隨溫度變化縮小1.05倍，倍率凈變化49.5 %。這一結果遠遠超過黏性系數自身帶來的影響。導熱系數單純對振蕩幅值的提升及其顯著。

3 結 論

本文以Rijke管為研究對象，基于二維可壓縮NS方程及理想氣體狀態方程，采用數值模擬方法對Rijke管內的熱聲振蕩進行了從起振到飽和狀態的全過程數值模擬研究。通過考察3種不同放置狀態對Rijke管內熱聲不穩定特性的影響，研究了重力以及隨溫度變化的動力黏性系數和導熱系數對熱聲振蕩現象影響，得到以下結論：

1) 忽略重力與豎直放置時刻的熱聲振蕩情況基本一致，但水平放置下的熱聲振蕩要相對小一些。由于重力本身產生的加速度會阻礙振蕩，且熱浮力產生的速度則會激勵熱聲振蕩，結合上述分析發現重力對管內振蕩劇烈程度的影響要比熱浮力所導致的熱聲振蕩影響大。另外，忽略重力時壓力過渡段存在凸起，這是由于此時比另外兩者的板疊附近溫度梯度高，因此在達到飽和后振蕩通過減小振幅的耗散形式來達到管內平衡。

2) 加入薩特蘭公式后，其結果與黏性系數為常數時的變化規律較為接近，但各參數差值都增大一倍。這是由于薩特蘭公式下的耗散增強，振幅變小。由于黏性影響使得其振蕩速度也會變小，更加影響熱聲振蕩達到飽和的過程。這在文獻的實驗中有明顯變化，即阻尼系數對振蕩的具體影響。

3) 在結論2)基礎上，考慮導熱系數隨溫度變化的情況，發現依然會讓管內振幅在極短的時間內快速增加，達到極為劇烈的振蕩強度，并且會減小忽略重力下的振幅，從而縮小振幅方面的差距。對于兩者綜合比較的模擬情況，在之前文獻中未見此方面研究。當黏性系數隨溫度變化且導熱系數為定值時比兩者均為常數時的振幅縮小0.53倍，而比兩者均隨溫度變化縮小1.05倍，倍率凈變化49.5 %。這一結果遠遠超過黏性系數自身帶來的影響。