基于最小二乘法的三軸氣浮臺質心位置測算方法

宋院歸，胡奇飛

（中聯恒通機械有限公司，長沙 410073）

1 引言

三軸氣浮臺通過氣浮球軸承實現近似無摩擦的系統來模擬太空失重環境，需要通過調平衡裝置將質心調節到轉動中心的位置，消除重力帶來的干擾力矩。因此，調平衡技術是實現高精度氣浮臺的關鍵技術。一般而言，自動調平衡技術可實現比人工調平技術更高的效率和精度，是當前研究的熱點。為實現精確調平衡，必須先測算出質心的精確位置。通過CAD 軟件建立氣浮臺的三維模型，可以初步計算氣浮臺的質心位置，但由于電線、焊接點等零部件建模存在困難，這一方法無法精確計算出質心的位置。起初，研究人員通過測量氣浮臺的擺動周期來測算質心位置的偏移，進而進行配平。這種方法將氣浮臺等效為3D 復擺[1-2]，但這一方法需要反復測量氣浮臺的擺動周期，所需調節時間較長。隨后，人們提出基于氣浮臺的剛體動力學方程來控制執行機構，調節質心位置，文獻[3-4]給出通過2 個傾角傳感器實現水平方向自動配平的方法，文獻[5-6] 提出在已知轉動慣量的情況下計算質心的方法?；谝延醒芯砍晒?，在此建立三軸氣浮臺的動力學模型，采用最小二乘法處理姿態信息、計算質心位置，求解配重滑塊位置，實現氣浮臺自動調平衡，并與常規的周期反饋算法進行比較。

2 三軸氣浮臺動力學模型建立

三軸氣浮臺由支撐座、氣浮球軸承和轉動臺體三部分組成。氣浮球軸承通過球窩上布置的噴嘴噴出高壓氣體，在球窩與球頭間形成一層極薄的氣膜，實現三軸近似無摩擦轉動。氣浮臺采用傘形結構[7-8]，其三維模型如圖1 所示。

圖1 氣浮臺三維模型

通過Pro/E 建立三維模型，計算得到氣浮臺的質量：m=136.95322kg，其質心位置偏移為：r=[0,0,-1.8519493×10-3]m，氣浮臺相對于轉動中心（球頭球心）的轉動慣量為：I=[19.021405,17.275641,19.0 21405]kg·m2。

由于臺體變形較小，假設臺體為剛體，按照歐拉角旋轉公式，依照Z-Y-X順序旋轉，可確定由慣性系到隨體系的變換矩陣Cib如下式：

其中，Ψ為偏航角；θ為俯仰角；φ為滾轉角。對于歐拉角速度方程，有：

又有動量矩定理：

其中，M0為作用于平臺的外力矩矢量和。由于旋轉中心與質心不重合，所以又有：

其中，LC為平臺相對于質心的角動量，ω為平臺相對于慣性系的角速度（單位為°/s）。

將式(4)和式(5)代入式(3),并寫成Aω˙垣B=M 的形式，其中，M 為和外力矩，這里不考慮重力以外的其他干擾力矩，同時臺體轉速較慢，ω、r 均為小量，I只考慮主慣量，故得：

3 基于復擺模型的質心位置測算

當氣浮臺小角度擺動時，可以將臺體近似作為復擺處理。將氣浮臺的運動分解，假設只繞X軸運動，則由復擺周期公式：

由此可求解得到質心在豎直方向的偏移為：rz=，X軸水平方向質心偏移為：rxX≈rXsinα=，Y軸水平方向質心偏移為：ryX≈rXsinθ=，其中，α為X軸與x軸重合時的傾角，θ為臺體轉動180°后的傾角（Y軸）。按照這一方法計算，結果如表1 所示。

表1 基于復擺的質心測算結果

4 基于動力學反演的質心位置測算

4.1 基于最小二乘法測算質心位置

基于式(6)，可通過變形來求解質心位置，有：

其中：

可將式(8)簡寫為：

對式(9)求廣義逆矩陣，質心可通過最小二乘法求得為：

通過最小二乘法即可計算得到質心的位置。測算結果如圖2 所示。

圖2 質心測算結果

由圖2 可知，基于最小二乘法質心算法收斂較快，可有效縮短測量時間，更快地實現質心調節；同時偏差較小，對質心位置的測量更加精確。

4.2 算法實現

基于最小二乘法的質心算法實現的總體流程可描述為圖3 的流程圖。

圖3 基于最小二乘法質心算法流程

根據復擺公式(7)，三軸氣浮臺質心測量可根據氣浮臺的擺動周期來確定。由表1 可知，氣浮臺垂直方向質心與球心的偏移量小于10-5m 時，系統的干擾力矩為10-2N·m 量級，此時三軸氣浮臺擺動周期在160s 左右。

氣浮臺四個支腿上（相對支腿為一軸）各安裝伺服電機，外加高精度絲桿與滑塊，通過滑塊移動調節臺體的質心垂直方向和水平方向的偏移量。臺體上布置一個兩軸傾角儀，輸出頻率為100Hz，精度0.002°，測量臺體角度信息，計算臺體X軸或Y軸兩個角度極大值的時間間隔，可得臺體的擺動周期。實驗中取X軸為計算依據。由于氣浮臺最大擺動角度僅為30 度，水平方向的過度偏擺可能導致氣浮臺觸碰到防傾翻保護環，從而影響到整個系統質心發生變化，故此先做傾角調整再進行周期調整，并且設置衰減系數，防止調整過度。

傾角調整量可按如下兩式相應地計算出來：

此時，當T＜100 s，k=0.8；當100 s＜T＜150 s，k=0.6；當T＞150s，k=0.4；

此時，當T＜100 s，k=0.8；當100 s＜T＜200 s，k=0.4；當T＞200s，k=0.3；

傾角的調整采用如表2 所示的方式進行調整。

表2 傾角調整方式對應表

表中，采用X傾角大于0，則1、2 向下調整Δlx，3、4 向上調整Δlx，反之相反；采用Y傾角＞0，則2、3向下調整Δly，1、4 向上調整Δly，反之相反。

X軸和Y軸分開調整，一般可先調整X后調整Y。若不能向下調整，則只向上調整，進行迭代，直到傾角小于2°。

待傾角調整到2°以內，再調整周期。周期調整量可根據如下公式計算：

此時，當Tx＜100 s，k=0.8；當100s＜Tx＜150 s，k=0.6；當Tx＞150s，k=0.4。

根據上述式(11)～(13)進行迭代調整。其中周期調整采用4 個電機同時向上移動，若不能滿足4 個移動，則采用2 個相對電機同向移動。

5 實驗結果比較

在三軸氣浮臺上，以氣浮臺擺動周期大于160s為目標，此時系統的干擾力矩小于10-2N·m，分別采用周期反饋算法和基于最小二乘法的質心算法進行調試，比較各自的調試時間，比較結果見圖4。

圖4 兩種方法的調試效果對比

從圖4 可以看出，三軸氣浮臺使用周期反饋算法將擺動周期從22 秒調整到160 秒需要近16 分鐘；基于最小二乘法質心算法只需要9 分鐘左右，效率有較大提升。

6 結 束 語

在對三軸氣浮臺的動力學建模中，通過數值計算，仿真了其運動過程中的角度和角速度變化。通過仿真的角度變化數據，計算出氣浮臺的擺動周期，從而測算質心的位置。通過動力學反演的方法，采用最小二乘法處理姿態信息，并分析質心位置的計算速度與精度。通過實驗對比，在三軸氣浮臺上分別采用周期反饋算法和基于最小二乘法質心算法進行調試，后者時間明顯小于前者，有效提高了三軸氣浮臺的調試效率。