Loewner理論100年[Ⅰ]

吳牮

摘要：由著名數學家Charles Loewner在上個世紀二十年代創立的Loewner理論已有近100年的歷史，該理論深刻而優美，它是單復變函數幾何理論的重要組成部分。以Loewner理論為基礎形成的Loewner方法作為一種強有力的分析技巧，近100年來不斷地在幾何函數論的極值問題、控制理論、隨機過程及統計物理、斷裂力學等領域發揮著重要作用，煥發出強大的生命力。在參閱相關文獻的基礎上并結合筆者自己的一些工作與體會，對該理論及其早期發展應用的主要成果、相關學者的貢獻作一個較為粗淺的總結與評述。

關鍵詞：Loewner 微分方程 ;單葉函數 ;裂紋映射 ;極值問題

一、分析學家Charles Loewner

Charles Loewner（Ch. 勒夫納），著名的美籍捷克數學家，早期在捷克時曾用姓名Karel L?wner ， 在德國時曾用姓名Karl L?wner。 1893年5月29日， Loewner出生于捷克共和國一個猶太商人家庭，其家在離布拉格約30公里的拉尼鎮，其父親Sigmund L?wner在鎮上經營著一家店鋪. Loewner于1917年即獲得布拉格大學數學博士學位，導師是著名的數學家Georg Pick。取得學位后他主要以教師為職業，先后在柏林大學、布拉格大學、路易斯維爾大學、布朗大學、敘拉古大學、斯坦福大學任職，于1968年1月卒于美國斯坦福。Loewner專長于經典分析，研究工作涉及復分析、泛函分析、李群與半群理論，早年即在單復變幾何函數論的Bieberbach猜測（比伯巴赫猜測）的研究中取得重大突破——用其獨創的基于所謂Loewner微分方程的參數表示法證明了關于S族單葉函數的系數不等式|a3|≤3成立。由于眾所周知的原因，和許多猶太人一樣他從歐洲移居到了美國，移居美國后把姓名改為Charles Loewner。在戰亂年代客居他鄉，Loewner經歷了不少的艱辛，例如：作為一個頗有名望的學者為了生活卻不得不四處奔波謀取普通教師職位，由于美國當時許多學校研究水平并不高（注：與歐洲相較而言），一般高校數學系很少開設高級的研究水平的課程，故初到美國時Loewner只能屈就低薪講授大量的初級課程，每周授課學時竟高達24小時，后來在少部分有興趣的學生要求下，才無薪義務地講授一些高級課程。不管怎樣，其一生從教50年，悉心培養出了不少優秀學生，日后卓有建樹的如：Lipman Bers， Roger A. Horn， Adriano Garsia，特別值得一提的是我國四川大學已故數學家蒲保明教授即是Loewner在敘拉古大學執教時的博士生。（參[1]、[2]）

二、Loewner基本定理

Loewner早年專攻函數論，在幾何函數論方面頗有建樹。周知，進入二十世紀后古典復分析有了多方面的突破與進展，其中發端于復平面上共形映射原理的幾何函數論的快速發展尤其引人注目，幾何函數論的中心課題之一是Bieberbach猜測：即對于標準化后的S族單葉函數，其冪級數的系數滿足：|an|≤n。L.Bieberbach（比伯巴赫）本人在1916年只證明了|a2|≤2，以后再無進展，直到1923 年Loewner發表了其著名的|a3|≤3的證明，但其論文中最要緊的是包含了以Loewner微分方程刻畫復平面上單裂紋區域族的一個定理，現習稱為Loewner基本定理（見[3]、[4]、[5]），該定理用當前通行的術語簡介如下。

記復平面上單位圓盤D={Z|：|Z|<1}上定義的，滿足f'（0）=f'（0）-1=0 的全體單葉解析函數構成族S，S的一個子族SL，即單裂紋族，意即任意f（z）∈SL，將單位圓域D映為，C為開復平面，為從有窮遠點W0到∞的Jordan弧，如圖1所示。

原始的Loewner理論主要是對一特定的裂紋映射f（z）∈SL引入實參數，當參數連續變化時，依參數和裂紋界產生一連續變化的裂紋映射從屬族（或稱從屬鏈、Loewner鏈），該從屬族可用一偏微分方程進行刻劃，其核心思想是利用裂紋族對參數的連續依賴性導出單位圓盤到裂紋區域共形映射的某種局部分析性質，這可以看著是對復平面上單連通區域共形等價一般定性結論的一種進一步定量描述，是一個極深刻和基本的成果。

Loewner的成果一經發表，便迅速確立了該理論在復分析中的重要地位，其重要性表現在以下兩方面：

①首先，它是對共形映射基本定理（Riemann映射定理）的重要補充，即在特定區域上定量地描述映射函數的特征，從另一個角度看，該理論在共形映射的具體實現方面，也提供了一種較為一般的處理方法，即將SL中的映射函數通過Loewner微分方程表示成為了半顯形式。周知，具體、直接地求出任意兩區域間的共形映射函數的通用方法是不存在的，人們退而求其次地給出一些間接的或適用于某類區域的方法，|￡.|?.§¤§à§Y§?§ù§ú§?（戈魯辛）在其名著[6]中做了歸納，該書第三章所討論的的幾種方法均是共形映射具體實現的較為一般的方法，其中就包括Loewner方法，這些方法應該說都是對以黎曼映射定理為核心的復變函數幾何理論的補充和完善。

②.其次 ，裂紋族SL中的函數在族S中是稠密的，鑒于此，用SL中函數去逼近S中的函數，從而由SL中函數的性質通過逼近，刻畫出S族函數的性質，以此為出發點，產生出了力量非凡的所謂Loewner參數表示法，自1923年Loewner證明他的系數不等式（，則|a3|≤3）開始直到以后幾十年間，各國學者將這種方法應用于幾何函數論許多問題的研究，取得極好的效果。1984 年L.De Branges徹底證明Bieberbach猜測，Loewner方法是基礎之一，而實際上是其整個證明的最本質、最重要的基礎。

如此看來，Loewner理論雖然歷來和證明諸如Bieberbach猜測等等有關單葉函數極值問題的研究緊密相關，但從一個更高的層面上看，它實際上應該是對單復變函數幾何理論在一個特定方向上的發展與補充，Loewner理論的定位也絕不應該是專為某問題而誕生的一種特殊、專用技巧，它應該是經典復變函數論理論體系中的重要一環。

三、Loewner理論的早期發展及應用

Loewner的理論在1923年以后50年間主要有三個方面的發展，一是對該理論的進一步推廣，二是設法求解Loewner方程，三是將Loewner方法應用于單葉函數極值問題的研究。以下就此三個方面做一個簡要介紹。

（1）Loewner理論是如此精巧，以至于要對其進行些微的有價值的改造總顯得十分困難的。早期的推廣最為重要的應該是前蘇聯專家§±.§±. §?§?§?§?§a§?§ó（庫法列夫）的工作，他在Loewner理論方面的工作主要是致力于擴張該理論。他依然在復平面上討論問題，但卻在一個高度上以一個更廣的視角來理解Loewner理論賴以成立的幾何背景，從而進一步發掘出區域核收斂（kernel convergence）這個具有幾何特征的分析概念所蘊含的內涵，并以此為重要基礎建立了廣義的Loewner方程（參[7]、[8]）。而Ch.Pommerenke早年的若干研究工作如[9]、[10]，試圖對Loewner方程側重于從從屬原理給出一種更加分析化的描述，但是對Loewner定理本身并無實質性改進。在國內楊維奇在多連通區域上進行了Loewner方程的研究，得到一種Loewner方程在多連通區域上的繁瑣推廣（參[5]），雖然看不出其有效的實際用場，但在理論上有一定意義。夏道行1959年率先成功地將Loewner理論引入擬共形映射領域（見[11]），這在當時看來是一項相當重要的工作，代表當時國內幾何函數論研究水平的新高，也是夏道行當年在調整其研究方向到泛函分析領域之前在復分析方面若干工作的典范和頂峰之作。

②Loewner方程的求解是一個有趣且有價值的研究課題，首先Loewner方程作為一個非線性偏微分方程，研究其解法本身就有意義，另外該方程的特解、通解的幾何意義和應用也十分有趣。這方面§±.§±.§?§?§?§?§a§?§ó、J.Becker在上世紀40年代、70年代的工作具有代表意義，§?§?§?§?§a§?§ó在[12]中討論了定理A中方程得到裂紋解的條件，他證明了只要k'（t）在[0，∞）上連續，則方程有裂紋解，即f（z，t）將單位圓域單葉地映射為具有裂紋的單位圓域。但裂紋解存在的充要條件是什么至今不得而知。Becker對Loewner方程的通解最先進行了討論（見[13]、[14]），周知，Loewner—§?§?§?§?§a§?§ó方程為

其中P（·，t）∈P對t∈[0，∞）存在，即為所謂正實部函數;且對任意t∈[0，∞），p（z，·）對z∈D可測。

Becker證明該方程存在唯一的單葉正則解：f（z，t）=etz+…，他還證明方程的其他解g（z，t）在D上全純，在[0，∞）上局部絕對連續，并且對于z∈D局部一致地成立著，這里f（z，t）是正則解，是整函數。特別地，如果g（·，t）在D單葉，并且g（0，t）=g'（0，t）-et對t≥0成立，則g（z，t）=f（z，t）。Becker工作的意義在于在單復變情形下將Loewner理論的純分析方面的信息在最一般的情形下給予發掘，工作有難度，也代表了一個方向，由此引發了一系列后續研究，包括近年來在多復變方面的相關工作（參[15]）。

在國內，龔昇仿[19]中的方法，于1953年討論了特征函數k（t）為特殊形式時方程單葉解的形式，同時還利用Loewner方程研究了單葉函數的系數（參[16]、[17]）。中山大學林偉研究了由Loewner方程定義的特殊單葉映射（見[18]）。作為當年的青年數學工作者，龔昇與林偉的這幾項工作意義確實有限，帶有習作性質，但對當時國內剛剛興旺起來的單葉函數論的研究來講應該是起到了一定推動作用的。

③ Loewner方法的應用方面最成功的是前蘇聯專家|￡.|?.§¤§à§Y§?§ù§ú§?（戈魯辛），§¤§à§Y§?§ù§ú§? 的研究工作大部分和復變函數的各種解析函數族的極值問題有關。特別是對單葉函數的研究，繼Bieberbach、Littlewood、Koebe、Loewner等人的工作后，他得到了S族、∑族函數進一步的精細、深入的結果，如：得到經典偏差定理的精細補充形式，利用函數模平均的估計，得到S族函數系數的精細估值，首先提出并研究了系數模之差估計的問題——即通常所說的戈魯辛問題?！臁琛歙ぁ靁§?§ù§ú§? 在相關工作中將深刻的Loewner方法的應用發揮到一個新的高度，得到許多有關S族、Σ族函數的精密估計結果，特別是利用Loewner方法，并借助于令人驚嘆的簡潔精妙的技巧得到了S族函數旋轉定理的最后精確形式，這項成果是驚人的，可列入單葉函數論最重要的經典定理之一?！臁琛歙ぁ靁§?§ù§ú§? 將Loewner方法應用于單葉函數論，從成果的量和面上講迄今無人能及，從他應用Loewner方法所得結果的重要性來看，除1984年L.De Branges（德.布蘭杰斯）以Loewner方法為基礎證明Bieberbach猜測這項成果以外，亦無出其右者。相關材料可參看[4]、[19]。

四、結語

Loewner理論自1923年創立以來，在二十世紀的大部分時間里基本活躍于函數論領域，對其他領域的影響及溢出效應并不顯著。這可能與人們的慣性思維有關，即主要將其作為一種解決問題（主要是函數論中的極值問題）的強有力的方法技巧來看待而忽視了該理論在幾何函數論中的實際定位，故而缺少了深入發掘該理論不同用途的動力及開拓相關視野的主動性;也或許是其他學科領域有關方向的發展尚未達到需要該理論的程度。不過進入二十一世紀后，情況發生了改變，Loewner理論在一些交叉學科領域獲得了重大應用，大放異彩，相關情況我們將另文介紹。

參考文獻：

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[17] 龔昇，單葉函數之偏差定理及系數[J]，數學學報，Vol.3，No.3（1953）225-229.

[18]林偉，關于樓五納微分方程式的幾種單葉映射[J]，中山大學學報，1957年第1期，1-9.

[19]戈魯辛，單葉函數輪中的一些問題[M]，北京：科學出版社 1956.

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