由一道高考解析幾何題的探究所引發的思考

王江河

摘 要：圓錐曲線是高中數學的重點和難點，也是高考數學考查的熱點，圓錐曲線問題涉及知識點多，解題方法靈活多變，題型豐富，用幾何畫板探究題型變化，便于直觀研究點、直線、曲線之間的各種關系，完美的做到動靜結合、數形結合，有助于師生優化解題策略、提高數學思維品質。

關鍵詞：幾何畫板;圓錐曲線;數形結合思想;特殊與一般思想

筆者在探究本試題時，把此題做一般化考慮（文中變式3），用幾何畫板探究，發現橢圓中有定直線與定點對應，進一步引發更多地思考，橢圓思考完，想到圓是否有此性質？筆者通過設置條件和調整點或直線位置，發現類似性質.最后想：圓錐曲線中心對稱圖形中的雙曲線也是否有類似性質，結論是肯定的.但回過頭思考，應該圓的性質在前，類比到橢圓，再到雙曲線更自然，故本文把圓的探究題置于前面.

題1.已知圓O的直徑AB，圓上不同于A、B的兩點C、D，如果直線AC與BD相交于點M，直線AD與BC相交于點N，則直線MN與直線AB垂直.

探究：分兩種情況：（1）當C、D兩點在直線AB同側，直線MN與圓相交.（2）當C、D兩點在直線AB兩側，直線MN與圓相離（圖略）.

變式1.已知圓O直徑AB，直線l與線段AB垂直于點G，點M是直線l上任一點（不同于點G，不同于直線l與圓O的交點），直線MA與圓O交于點C，直線MB與圓O交于點D.

（1）若直線CB與直線AD相交于點N，則點N一定在直線l上.

（2）當點M在直線l上運動時，直線CD過定點（即動直線CD與定直線AB的交點）（圖1）.

變式2.已知圓O的直徑AB，直線l與線段AB（或BA）延長線垂直于點G，點M是直線l上任意一點（不同于點G），直線MA與圓O交于點C，直線MB與圓O交于點D

（1）若直線CB與AD相交于點N，則點N在直線l上（圖2）.

（2）當點M在直線l上運動時，直線CD過定點（即動直線CD于定直線AB交點）（圖3）.

反思：題1與變式1、變式2不知道哪個是正向思考，哪個是逆向思考，由于定點與定直線相互牽制，線對應點，點對應線，密不可分，故只需變化條件，這3題無所謂哪個先哪個后.

題2.已知橢圓C1的長軸兩端點A和B，橢圓上不同于A、B的兩點C、D，如果直線AC與BD相交于點M，直線AD與BC相交于點N，則直線MN與直線AB垂直.

探究：分兩種情況.

（1）當點C、D在直線AB同側時，直線MN與橢圓相交（圖4）.

（2）當點C、D在直線AB兩側時，直線MN與橢圓相離（圖5）.

變式3.已知橢圓C1的長軸兩端點A和B，直線l與線段AB垂直于點G，點M是直線l上任意一點（不同于點G，不同于直線l與橢圓C1的交點），直線MA與橢圓C1交于點C，直線MB與橢圓C1交于點D.

（1）若直線CB與直線AD相交于點N，則點N在直線l上（圖6）.

（2）當點M在直線l上運動時，直線CD過定點（即動直線CD與定直線AB的交點）（圖7）.

反思：變式3能否逆向思考，由定點S得到定直線呢？

變式4.已知橢圓C1的長軸兩端點A和B，直線AB上有定點S，過點S的直線與橢圓交于點C、D兩點，若直線AC與直線BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N.則直線MN與直線AB垂直（圖8，圖9）.

反思：長軸有此性質，短軸有嗎？幾何畫板強大的作用讓我們得到了肯定的結論.

變式5.已知橢圓C1的短軸兩端點B1和B2，C、D兩點是橢圓C不同于B1、B2兩點，直線B1C與直線B2D相交于點M，直線B1D與直線B2C相交于點N，則直線MN與直線B1B2垂直.（圖10，圖11）.

變式6.已知橢圓C1的短軸兩端點B1和B2，直線B1B2有定點S，過點S的直線與橢圓C1交于點C、D兩點，若直線B1C與直線B2D交于點M，直線B1D與直線B2C交于點N.則直線MN與直線B1B2垂直（圖10，圖11）.

反思：雙曲線有此性質嗎？幾何畫板畫圖探究再開始.

變式7.已知雙曲線C2的實軸兩端點A1和A2，直線A1A2有定點S，過點S的直線與雙曲線C2交于點C、D兩點，若直線A1C與直線A2D交于點M，直線A1D與直線A2C交于點N.則直線MN與直線A1A2垂直（圖12，圖13）.

變式8.已知雙曲線C2的實軸兩端點A1和A2，C、D兩點是雙曲線C2上不同于A1、A2的兩點，若直線A1C與直線A2D相交于點M，直線A1D與直線A2C相交于點N.則直線MN與直線A1A2垂直（圖12，圖13）.

變式9.已知雙曲線C2的實軸兩端點A1和A2，直線l與直線A1A2垂直于點G（不同于A1和A2），點M是直線l上任意一點（不同于G，不同于直線l與雙曲線C2的交點），直線MA1與雙曲線C2交于點C，直線MA2與雙曲線C2交于點D.

（1）若直線A1D與直線A2C相交于點N，則點N一定在直線l上.

（2）當點M在直線l上運動時，直線CD過定點（即動直線CD與直線A1A2的交點）（圖12，圖13）.

如果頂點為雙曲線兩個虛頂點呢？思考可以繼續，探究還可進行.

本文筆者只是從幾何畫板角度下探究了高考試題，引發了一系列思考，由于篇幅，本文略去證明過程，不當之處望各位同仁指正。筆者在探究中真正的領悟了數學中的各種美：動與靜的結合美、數形結合的圖形美、類比推理的思維美等，我們的一線教師可以把這種思考和訓練形式用到課堂，真正讓學生喜歡上數學，這也是我們數學教育工作者的任務和責任.

參考文獻

[1]田保.圓錐曲線兩垂直相交弦中點連線的性質——一道高考模擬題的思考和探究.中學教學參考，2019（29）：6-7.