基于擴展卡爾曼濾波的三軸氣浮臺質心位置測算方法

胡奇飛，李 穩

(中聯恒通機械有限公司，湖南 長沙 410073)

0 引言

三軸氣浮臺通過氣浮球軸承實現近似無摩擦的系統來模擬太空失重環境，需要通過調平衡裝置將質心調節到轉動中心的位置以消除重力帶來的干擾力矩。因此，調平衡技術是實現高精度氣浮臺的關鍵技術。一般而言，自動調平衡技術較人工調平技術效率高、精度高，是當前研究的熱點。

為實現精確調平衡，必須先測算出質心的精確位置。通過Pro/E軟件建立氣浮臺的三維模型，可以初步計算氣浮臺的質心位置，但由于電線、焊接點等零部件建模存在困難，這一方法無法精確計算出質心的位置。起初，研究人員通過測量氣浮臺的擺動周期來測算質心位置的偏移，進而進行配平。這種方法將氣浮臺等效為3D復擺[1]，但這一方法需要反復測量氣浮臺的擺動周期，所需調節時間較長。隨后，人們提出基于氣浮臺的剛體動力學方程來控制執行機構，調節質心位置，文獻[2]給出了通過2個傾角傳感器實現水平方向自動配平的方法，文獻[3]和文獻[4]提出了在已知轉動慣量的情況下計算質心的方法。

本文通過建立三軸氣浮臺的動力學模型，采用基于最小二乘法和擴展卡爾曼濾波處理姿態信息、計算質心位置，求解配重滑塊位置，實現氣浮臺自動調平衡，并與周期反饋算法進行比較。

1 三軸氣浮臺動力學模型建立與數值仿真

1.1 三軸氣浮臺全物理仿真設備

三軸氣浮臺由支撐座、氣浮球軸承和轉動臺體三部分組成。氣浮球軸承通過球窩上布置的噴嘴噴出高壓氣體，在球窩與球頭間形成一層極薄的氣膜，實現三軸近似無摩擦轉動。氣浮臺采用傘形結構，其三維模型如圖1所示。

圖1 氣浮臺三維模型 圖2 慣性坐標系和隨體坐標系

通過Pro/E建立的三維模型計算得到氣浮臺的質量m=136.953 22 kg，其質心位置偏移r=[0,0,-1.851 949 3×10-3] m，氣浮臺相對于轉動中心(球頭球心)的轉動慣量為：

(1)

其中：Ixx、Iyy、Izz分別為氣浮臺相對于X、Y、Z的轉動慣量；Ixy、Ixz、Iyx、Iyz、Izx和Izy均為慣量積。

臺體上布置一個兩軸傾角儀，輸出頻率為100 Hz，精度為0.002°，測量臺體角度信息，通過數據處理可測得臺體的擺動周期。

1.2 三軸氣浮臺動力學模型

以三軸氣浮臺的轉動中心作為原點建立隨體坐標系O-XbYbZb和慣性坐標系O-XIYIZI，如圖2所示。

(2)

其中：ψ為偏航角；θ為俯仰角；β為滾轉角。

對于歐拉角速度方程，有：

(3)

又有動量矩定理：

(4)

其中：M0為作用于氣浮臺的外力矩矢量和；L0為氣浮臺質心的動量矩。

由于氣浮臺旋轉中心與質心不重合，所以又有：

(5)

其中：r為質心偏移量；Lc為氣浮臺相對于質心的角動量；ω為氣浮臺相對于慣性坐標系的角速度。

Lc的計算公式為：

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4),可得：

其中：A為角動量運算矩陣；B為軸向偏移分量；M為重力干擾力矩(這里不考慮重力以外的其他干擾力矩)，其計算公式為：

考慮到臺體轉速較慢，ω、r均為小量，只考慮主慣量情況下簡化得：

(8)

其中：rx、ry、rz分別為質心在x、y、z軸的偏移量。

2 基于復擺模型的質心位置測算方法

當氣浮臺小角度擺動時，可以將臺體近似作為復擺處理。將氣浮臺的運動分解，假設只繞X軸運動，復擺周期為：

(9)

其中：I為轉動慣量。

則由式(9)可求解得到質心在豎直方向的偏移為：

(10)

水平方向質心偏移為：

(11)

其中：α為X軸傾角；χ為臺體轉動180°后的傾角。

通過電機上移4個外伸臂的滑塊，氣浮臺擺動周期增大，通過式(10)換算得出氣浮臺質心，如圖3所示。

圖3(a)可以看出，氣浮臺擺動周期從22 s調整到160 s耗時15 min左右，通過式(10)和式(7)可求得垂直方向質心偏移量約為2.78×10-5m，此時系統干擾力矩約為0.82×10-2Nm。由圖3(b)可以看出，水平方向質心偏移量在加大，氣浮臺平衡性變差。

圖3 周期反饋算法氣浮臺質心調試效果

3 基于動力學反演的質心位置測算方法

3.1 基于最小二乘法的質心位置測算方法

設第1個測量時間為t1，第2個測量時間為t2,Δt=t2-t1,基于式(8)，變形可求解質心位置：

(12)

將式(12)寫為：

ΔΩ=Φr.

(13)

其中：ΔΩ為角速度增量數組；Φ為3×3矩陣。

則求廣義逆矩陣，質心的偏差可通過最小二乘法求得為：

r=(ΦTΦ)-1ΦTΔΩ.

(14)

通過最小二乘法，計算得到質心的位置如圖4所示，質心測算速度比周期反饋算法快，但始終存在一定的水平質心偏移量。

圖4 基于最小二乘法的質心位置測算結果

3.2 基于擴展卡爾曼濾波(EKF)的質心位置測算方法

(15)

(16)

狀態轉移矩陣為:

(17)

(18)

觀測矩陣為:

(19)

預測狀態的協方差矩陣Rk與濾波增益矩陣Kk分別為：

(21)

(22)

狀態值和協方差矩陣更新為：

(23)

由圖5可知，EKF濾波對于質心位置的測算收斂速度與最小二乘法相差不大，都優于周期反饋算法；但EKF濾波偏差較最小二乘法小，能更精確地測量質心位置。

圖5 基于EKF濾波的質心位置測算結果

4 實驗結果與分析

在三軸氣浮臺上，以氣浮臺擺動周期大于160 s為目標，此時系統的干擾力矩小于10-2N·m，分別采用周期反饋算法、基于最小二乘法的質心算法和基于EKF的質心算法進行調試。三種算法各取3次調試結果，如表1所示。

表1 三種不同算法的氣浮臺周期與質心調試效果對比

由表1可以看出，氣浮臺擺動周期調整到160 s，周期反饋算法耗時最多，需要1 050 s左右；最小二乘法和EKF質心算法耗時相近，為630 s左右；調整結束后，Y軸偏擺角度周期反饋算法最大，為4°～5°，EKF算法最小，為1°左右，質心位置測算最精準。

5 結論

本文建立三軸氣浮臺的動力學模型，通過數值計算，仿真其運動過程中的角度和角速度變化。其次通過實驗測量的角度變化，計算氣浮臺的擺動周期，從而測算質心的位置。再次，通過動力學反演的方法，采用最小二乘法和EKF處理姿態信息，并分析質心位置的計算速度與精度。最后在氣浮臺上分別采用上述三種算法進行調試，從實驗結果分析得出，基于EKF算法的調試時間最短，質心位置精度最高。