關于McKay箭圖的一點注記

侯汝臣

(煙臺大學數學與信息科學學院,山東 煙臺 264005)

1 引言及準備工作

“表示理論是代數學中具有根本性的問題,是當前國際上數學研究的前沿重點課題,在數學的其他分支,量子物理學以及化學等其他學科中有深刻而廣泛的應用”[1]。 “群對稱是數學的靈魂,而研究群對稱的基本工具是群表示論”[2]。 1980 年,MCKAY引入了McKay 箭圖的概念[3],它揭示了有限單群的表示和李代數、Klein 奇點等數學領域的聯系,這就是經典的McKay 對應[4]。 在代數表示論中,McKay 箭圖在研究 Cohen Macaulay 模的 Auslander Reiten 箭圖,溫馴型遺傳代數的預投射代數,箭圖簇,以及復雜度為2的自內射Koszul代數等多個方面起到重要作用[5-12]。

設G?GL(m,)=GL(V)是一個有限子群，這里V表示上的一個m維向量空間。 設 {Si|i=1,2,…,n}是G在上不可約表示的完全集。 對每一Si,將G的張量積表示V?Si分解為G的不可約表示的直和:群G的McKay 箭圖Q=Q(G) 定義為:頂點集Q0是G在上不可約表示同構類下標的集合,從頂點i到頂點j有ai,j條箭向。 特別地,頂點i到i的箭向稱為環。

一般情況下,計算McKay箭圖比較困難[13]。 郭晉云利用代數表示論中的方法,即在文獻[14]中利用文獻[15]中外代數的斜群代數的箭圖即為群的McKay箭圖的方法,對有限循環群的McKay箭圖進行了一般概括性刻畫。 而因為有限循環群作為一般線性群GL(m,) 的子群的矩陣表現形式多樣,相應的群-表示m分解為群-的不可約表示的直和的分解形式也不相同,這就使得群的McKay箭圖也在變化。 關于群的不可約表示,可參閱文獻[16-17]。 一般線性群GL(m,) 的其他有限子群的McKay箭圖也有類似的情況。 為了研究這種現象,本文在第2節定理2 中利用群表示論中的方法精確刻畫了有限循環群 的所有各類McKay 箭圖。

證明因為是一個有限阿貝爾群,所以的任一不可約復表示均是一維的(參見文獻[2]第一章引理4.4)。 設ρ: →GL(1,) 是 的一個不可約復表示,ρ(g)(1)=a, 則ρ(gn)(1)=ρ(g)n(1)=an,ρ(gn)(1)=ρ(1)(1)=1, 所以an=1,即a為n次單位根。

設(ρ1,), (ρ2,) 為的兩個不可約復表示,ρ1,ρ2分別對應于n次單位根a和b。 設ψ為(ρ1,)到(ρ2,)的一個表示同態,ψ(1)=c。 則有ρ2ψ(1)=ψρ1(1), 即bc=ca。 所以若ψ≠0, 必有a=b, 即(ρ1,)=(ρ2,)。 所以引理1得證。

設G是一個n階有限循環子群。 易知,在單同態意義下,G總可以看做一般線性群GL(m,) 的子群,m∈+。 而在相似等價意義下,G在GL(m,)中的矩陣表現形式有哪些,是一個值得研究的問題。 引理2對此進行了刻畫。

引理2在相似等價意義下,可以以如下方式嵌入GL(m,):→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次單位根,并且ωi的階數的最小公倍數是n。

證明根據文獻[16]中14節命題(4)(i),g可以相似對角化,再由引理1,g的特征值為n次單位根,所以存在群同態φ:→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次單位根。 若要此同態為單同態,必須

且對任意p∈, 0

這就等價于要求n次單位根ωi(i=1,…,m)的階數的最小公倍數為n。

依據GL(m,)對m矩陣乘法作用,m自然成為群G-表示。根據Maschke定理,群G-表示m可以分解為群G的不可約表示Si的直和,i=1,2,…,n。 但G在GL(m,)中的矩陣表現形式不同,所得到的m的不可約表示Si的直和分解也會不同。 下面定理1對此種現象進行了刻畫。 在此基礎上,自然地,在Grothedieck群意義下,以Si為基底,我們就可以得到群G-表示m的維數向量。 此向量在利用群的特征標求群的McKay箭圖時也會起到重要作用。 我們回憶一下,設V是一個群G-表示,則V的維數向量定義為:dim(V)=(k1,k2,…,kn)T。

定理1設是一個以g為生成元的n階群,則存在群單同態φ:→GL(m,)。在相似等價意義下,設

(1)此時的群-表示m有群-不可約表示分解

(2) 群-表示m的維數向量dim(m)=(d1,d2,…,dn)T。

證明根據引理2,在相似等價意義下, 設n階循環群作為一般線性群GL(m,)的有限子群的嵌入方式為

其中ωu(u=1,2,…,m) 為n次單位根,并且ωu(u=1,…,m)的階數的最小公倍數為n。

設j∈{1,2,…,n},則由引理1, 欲求群-表示m的不可約表示分解中, 群-不可約表示Sj的重數,只需考慮以下以k1,k2,…,km為未知量的齊次線性方程組的解空間的維數,

即

例1設為一個6階循環群。 若嵌入GL(4,)的方式為

則此時dim(4)=(0,2,2,0,0,0)T。 若嵌入GL(4,)的方式為

則此時dim(4)=(1,1,0,1,0,1)T。

2 有限循環群的McKay箭圖

定理2設是一個以g為生成元的n階循環群,則存在群單同態φ:→GL(m,)。在相似等價意義下,設

推論1n階循環群的McKay箭圖的各個頂點有相同個數的環。

證明任取的一個McKay箭圖Γ,任取Γ的頂點i,根據定理2,頂點i的環的個數是ai,i=di-i=dn, 得證。

由定理2,在不同單同態下,的McKay箭圖也不同,但這些McKay箭圖有一些共同的性質。

推論2設是一個以g為生成元的n階循環群,在任一單同態下都可把看作GL(m,)的子群。 則對應的的所有McKay箭圖頂點個數固定為n,箭向個數固定為mn。

證明根據McKay箭圖的定義,顯然的所有McKay箭圖頂點個數固定為n。 從任一頂點i出發的箭向個數為ai,1+ai,2+…+ai,n,根據定理2,即為d1-i+d2-i+…+dn-i=d1+d2+…+dn=m。 而的McKay箭圖頂點個數為n,所以箭向個數為mn。

現在就文獻[15]中例4.3中的3個例子對定理2的應用加以說明。

例2設為一個2階循環群。 若嵌入GL(3,)的方式為

則此時dim(3)=(2,1)T,3?2S1⊕S2。 我們有a1,1=d2=1,a1,2=d1=2,a2,1=d1=2,a2,2=d2=1。 McKay箭圖見圖1(a)。

若嵌入GL(3,)的方式為

則此時dim(3)=(3,0)T,3?3S1。 我們有a1,1=d2=0,a1,2=d1=3,a2,1=d1=3,a2,2=d2=0。 McKay箭圖見圖1(b)。

若嵌入GL(3,)的方式為

則此時dim(3)=(1,2)T,3?S1⊕ 2S2。 我們有a1,1=d2=2,a1,2=d1=1,a2,1=d1=1,a2,2=d2=2。 McKay箭圖見圖1(c)。

圖1 McKay箭圖

通過和文獻[15]比較我們不難發現,通過定理2的方法計算有限循環群的McKay箭圖更簡單。