鄒靈果
(廈門海洋職業技術學院,福建 廈門 361009)
近年來,研究非線性方程的方法已趨于成熟,許多學者利用各種方法在研究一些典型的非線性方程中,得到了一些很有意義的解。其中行波解是非線性偏微分方程非常重要的一類解,并已經發現很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解。例如,著名的KdV方程:ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解;CH方程:ut-uuxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解;Fornberg-Whitham方程:ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定條件下會出現爆破的行波解。除此之外像Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有豐富的行波解。像輔助方程法[4](代數方法),廣義橢圓方程法[5],F-展開法[6],和平面動力系統分支理論[7]都被運用到研究非線性偏微分方程領域中。這四種數學方法一直都是非線性分析很好的工具。本文利用W.Rui提出的一種改進的方法[8]——積分分支法來求解非線性偏微分方程。這種改進的方法不像分支理論那樣需要涉及復雜的相圖分析,它很容易就能夠滿足。為積分分支法在解非線性偏微分方程的應用奠定基礎。
對一個給定的(n+1)維非線性偏微分方程:
E(t,xi,uxi,uxixi,uxixj,utt,…)=0(i,j=1,2,…,n),
(1)
積分分支法簡單過程如下:
P(ξ,φ,φξ,φξξ,φξξξ)=0
(2)
這里μi(i=1,2,…n)是任意非零常數。
反復對(2)積分直到它變成下面的二階非線性常微分方程:
G(φ,φξ,φξξ,φξξξ)=0
(3)
那么進行下一步。
(4)
(5)
這里的τ是參數。如果系統(4)是一個積分系統,那么方程(4)與方程(5)有如下相同的積分:
H(φ,y)=h
(6)
這里是積分常數。一般情況下,函數(6)滿足下面關系:
y=y(φ,h)
(7)
(8)
如果表達式(7)是一個分式,那么把(7)代入(5)的第一個方程并積分之,得到:
(9)
因為方程(1)的參數值和方程(6),(7)中的常數h是變化的,方程(8),(9)也是一樣,所以叫這些積分表達式為積分分支。不同的積分分支相當于不同的行波解。以上為積分分支法的全部過程。
W.Rui[8]在積分分支法的基礎上結合Jacobi橢圓函數積分對積分分支法進行了一些改進:
由系統(4)得到:
(10)
或者由系統(5)得到:
(11)
根據A,B,…,C或P,Q,…,R的取值結合表1、表2得到方程(1)的解。
表1 方程F′2=RF2+QF3+PF4的解
表2 方程F′2=RF2+QF3+PF4的參數選擇
首先對CH-γ方程:
ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+3uxuxx)+γuxxx=0,
(12)
作變換,令u=φ(ξ)=φ(x-ct),其中,ξ=x-ct,x為波長,t為時間都是變量,c為波速為待定參數,
則方程(12)變形為:
(c0-c)φ′+3φφ′-α2(-cφ′′+φφ′′+3φ′φ′′)+γφ′′=0,
(13)
方程(13)兩邊對ξ積分得:
2(c0-c)φ+3φ2+2(α2c+γ-α2φ)φ′′-2α2(φ′)2=0,
(14)
令φ′=y,則(14)變成下面兩個微分系統:
(15)
再令dξ=2(α2c+γ-α2φ)dτ,
(16)
則系統(15)變為:
由(17a)/(17b)得:
其中h為積分常數。
(21)
結合(16),(21)可以變形為:
(22)
(1)求CH-γ方程的參數解
情形I:h=0
則方程(22)變形為:
(23)
dξ=D(1+Eφ)dτ。
(24)
(25)
這里τ是參數,圖1是其波形圖。
圖1 波參數解(25)波形圖
圖1b參數條件:α=1,γ=2,c=10,c0=2,ε=-1,τ=[-0.2…0.10609])
類似的結合表1和方程(24),得到方程(12)的解如下:
(26)
(27)
圖2是解(27)的波形圖。
圖2 波參數解(27、33)波形圖
圖2b參數條件:α=2,γ=3,c=5,c0=5,τ=[-4.5302…4.5])
(28)
圖3是解(28)的波形圖。
圖3 波參數解(28)波形圖
圖3b參數條件:α=4,γ=2,c=5,c0=2,ε=-1,τ=[-0.1005…5.3])
(29)
圖4是解(29)的波形圖。
圖4 波參數解(29)波形圖
圖4b參數條件:α=2,γ=3,c=1,c0=10,ε=-1,τ=[-2.93…4.8701])
(30)
圖5是解(30)的紐子波與反扭子波的波形圖。
圖5 波參數解(30)波形圖
(31)
圖6是解(31)的波形圖。
圖6 波參數解(31)波形圖
(32)
(33)
解(33)是孤立波解,圖2是其波形圖。
情形Ⅱ:h≠0
(34)
φ(τ)=sn(τ,r),
(35)
圖7b參數條件:r=0.99,c0=5,γ=-0.8126146357,τ=[-29.52…23.45]
圖7 波參數解(36)波形圖
把方程(35)代入方程(26),兩邊積分,可得到方程(12)一個特殊的周期波參數解:
(36)
圖7是其波形圖。
(37)
圖8是其波形圖。
圖8 波參數解(37)波形圖
(38)
(39)
(2)求CH-γ方程的顯式解
從方程(20),定義
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
把方程(44)分離變量兩邊積分得:
(45)
(46)
本文采用積分分支法結合Jacobi橢圓函數積分在不同的參數條件下得出了方程(12)的多種參數行波解和一種顯示解,包括紐子波解、反紐子波解、周期波解、孤立波解等行波解,并與原文獻相比出現了一些新的結果。