沈壽華
(龍巖學院 福建龍巖 364000)
1977年,RUBEL和YANG[3]證明了如下結論。
定理1 設f為非常數的整函數,a和b為兩個判別的有窮復數,如果a,b為f與f′的CM公共值,則f≡f′。
1979年,MUES和STEINMETZ[4]證明了如下結論。
定理2 設f為非常數的整函數,a和b為兩個判別的有窮復數,如果a,b為f與f′的IM公共值,則f≡f′。
1996年,德國數學家BRUCK[5]證明了如下結論,并提出一個著名猜想。
定理3 設f為非常數的整函數,若超級ρ1(f)<+∞且ρ1(f)?N,且f和f′分擔0CM,則f≡cf′,其中c是非零的常數。
定理5 設f為非常數的整函數,若非常數的整函數f與f′分擔一個非零的有限值aIM,且當f(z)=a時,有f″(z)=a,則f≡f′。
2004年,林偉川和黃斌[7]證明了如下結論。
隨后,關于這個問題從分擔值的角度考慮得到很多漂亮的結果,特別是亞純函數f和導函數f(k)分擔問題是一個熱門問題,ZHANG和YANG[8],LI S和GAO Z[9]等對此問題均有研究,得到相關結論。
本文利用Mues和Steinmetz的思想方法研究Bruck猜想,得到如下結論。
注:當f是整函數時,定理7推廣了定理6。
為了證明定理7,需要用到下述引理。
證明:設z0是g(z)-1的零點,設g(z)=(z-z0)pu1(z)+1,u1(z0)≠0,∞,則
設u1(z)=(z-z0)nu2(z)+1,其中n是正整數,u2(z0)≠0,∞。代入g(z)=(z-z0)u1(z)+1,得到
g(z)=(z-z0)[(z-z0)nu2(z)+1]+1=(z-z0)1+nu2(z)+(z-z0)+1,
由已知N(r,g)=S(r,g),得
2g′g″-(g′)2-gg″=H′(g2-g)+H(2gg′-g′),
再對上式兩邊同時求導,得到
2(g″)2+2g′g?-3g′g″-gg?=H″(g2-g)+2H′(2gg′-g′)+H(2(g′)2+2gg″-g″)。
設z0是g(z)-1的零點,由已知條件得g′(z0)=1,代入上面兩式,有
g″(z0)=1+H(z0),g?(z0)=2H′(z0)-H2(z0)+2H(z0)+1。
同理有T(r,φ)≤S(r,g)。
由φ與φ化簡得,g′(2H2-H′+φ)=(g-1)(φ-φ′-(1+H)φ)。
當2H2-H′+φ?0時,得到2H2-H′+φ為整函數,所以
利用引理1,有
矛盾,所以2H2-H′+φ≡0。
設z1是g的零點,代入
2(g″)2+2g′g?-3g′g″-gg?=H″(g2-g)+2H′(2gg′-g′)+H(2(g′)2+2gg″-g″),
利用引理1,可得
故有g≡g′,即f≡f′,所以f(z)=bez,其中b是非零的常數。
定理7得證。