Quasi-Stone代數的核理想Quasi-Stone代數的核理想

沈嚇妹

(寧德師范學院 福建寧德 352100)

1 引言及預備知識

2004年，文獻[1]討論了PO代數的理想特征。2012年，文獻[2]研究了雙重偽補Ockham代數上核理想與余核濾子間的關系。本文則刻畫了Quasi-Stone代數上核理想的結構特征。

1993年，文獻[3]引入Quasi-Stone代數。Quasi-Stone代數指一個有界分配格(L;∧，∨，0，1)，其上賦予一元運算*，滿足下列條件:

(QS1)0*=1，1*=0；

(QS2)(∨-De Morgan律) (?x，y∈L)(x∨y)*=x*∧y*；

(QS3)(弱∧-De Morgan 律) (?x，y∈L)(x∧y*)*=x*∨y**；

(QS4)(?x∈L)x≤x**；

(QS5)(Stone等式)(?x∈L)x*∨x**=1。

一個p代數是指一個格L，它具有最小元0與一個L到L的映射*，滿足x∧y=0?y≤x*。

一個Boolean代數指代數(B;∨，∧，*，0，1)滿足：(1)(B;∨，∧)是分配格；(2)a∨0=a與a∧1=a，?a∈B；(3)a∨a*=1與a∧a*=0，?a∈B。

設I為格L的一個子格，如果a≤i∈I蘊含a∈I，稱I為L的理想。若存在L的同余φ使得kerφ=I，這里kerφ={x∈L|x≡0(φ)}，稱理想I為L的核理想。通常，用符號I(L)表示L的所有理想，符號KI(L)表示L的所有核理想。眾所周知，I(L)是L的子格[4]，其中運算∧與∨如下：

(?I，J∈I(L))I∧J=I∩J，I∨J={a∈L|a≤i∨j，i∈I，j∈J}。

設L是Quasi-Stone代數，θ是L上的一個格同余，若(x，y)∈θ?(x*，y*)∈θ，稱θ是L上的同余。

引理[3]設(L;*)是Quasi-Stone代數，且x，y∈L，則:

(1)x≤y?x*≥y*； (2)x*=x***； (3)x∧x*=0；(4)x∧y*=0?x≤y**。

2 核理想

定理1 設(L;*)是Quasi-Stone代數，I是L的理想，則：

I是L的核理想當且僅當(?i∈L)i∈I?i**∈I。

證明：“?”：設I是L的核理想，則存在L上的同余φ，使得kerφ=I。?i∈I有i≡0(φ)，故i*≡1(φ)。從而i**≡0(φ)。由核理想的定義，得i**∈I。

“?”： ?i∈L，i∈I蘊含i**∈I。定義L上的一個等價關系θI：

(x，y)∈θI?(?i∈I)x∧i*=y∧i*

先證θI是L的格同余.設(x1，y1)，(x2，y2)∈θI，則存在i，j∈I使得x1∧i*=y1∧i*及x2∧j*=y2∧j*.由(QS2)得，(x1∧x2)∧(i∨j)*=(y1∧i*)∧(y2∧j*)=(y1∧y2)∧(i∨j)*及(x1∨x2)∧(i∨j)*=(y1∧i*∧j*)∨(y2∧i*∧j*)=(y1∨y2)∧(i∨j)*.因此，(x1∧x2，y1∧y2)∈θI及(x1∨x2，y1∨y2)∈θI.故θI是L的格同余。

再證θI是L的同余.設(x，y)∈θI，則存在i∈I使得x∧i*=y∧i*。則由(QS3)知，x*∨i**=y*∨i**。由i*∧i**=0有x*∧i*=y*∧i*。于是(x*，y*)∈θI。故θI是L的同余。

最后證kerθI=I。設(x，0)∈θI，則存在i∈I使得x∧i*=0。由引理(4)，x≤i**。因i**∈I，知x∈I，即kerθI?I。反之，?i∈I，由引理(3)知i∧i*=0∧i*。因此，i∈kerθI。從而I?kerθI。故kerθI=I。因此，I是L的核理想。

推論1 設(L;*)是Quasi-Stone代數，I是L的理想，則θI是具有核理想I的最小同余。

定理2 設(L;*)是Quasi-Stone代數，則KI(L)是I(L)的子格。

證明：?I，J∈KI(L)，易知I∧J∈KI(L)。?x∈I∨J，則存在i∈I及j∈J使得x≤i∨j。

由引理(1)得x**≤i**∨j**。由定理1知i**∈I及j**∈J。從而x**∈I∨J，故I∨J∈KI(L)。因此，KI(L)是I(L)的子格。

定理3 設(L;*)是Quasi-Stone代數，I是L的理想，令I*={x∈L|(?i∈I)x**∧i=0}，則I*是L的核理想。

證明：先證I*是L的理想。設x，y∈I*，則?i∈I有x**∧i=0及y**∧i=0。從而(x∨y)**∧i=(x**∨y**)∧i=(x**∧i)∨(y**∧i)=0，即x∨y∈I*。又設a≤x∈I*，則a**≤x**。因此，a**∧i=0，即a∈I*。故I*是L的理想。

?j∈I*，則?i∈I有j**∧i=0。因j**=j****，于是j**∈I*。由定理1，I*是L的核理想。

定理4 設(L;*)是Quasi-Stone代數，則(KI(L)，*)是p代數，其中?I∈KI(L)，定義I*={x∈L|(?i∈I)x**∧i=0}。

證明：由定理2知KI(L)是I(L)的子格。

?I∈KI(L)及?x∈I∧I*，則x∈I且x∈I*。由I*的定義知x**∧x=0，即x=0。因此，I∧I*={0}。設J∈KI(L)且I∧J={0}。?x∈J，則x**∈J。于是，?i∈I，都有x**∧i∈I∧J。因此，x**∧i=0。故x∈I*，從而J?I*。故(KI(L)，*)是p代數。

定理5 設(L;*)是Quasi-Stone代數，則(KI(L)，*)是Boolean代數當且僅當L的每一個核理想都是主核理想。

證明：“?”： 設(KI(L)，*)是Boolean代數，則?I∈KI(L)，得I∧I*={0}及I∨I*=L。于是?a∈I，b∈I*都有a∧b**=0，且存在i∈I，j∈I*有i∨j=1。因i∧j=0，則i=j*，j=i*。又由a∧j**=0，由引理(4)得a≤j***=j*=i。故I=i↓。因此L的每一個核理想都是主核理想。

“?”：?I∈KI(L)且I是主核理想，則存在i∈I使得I=i↓。由定理1，知i**∈I=i↓。令J=(i*)↓，則I∧J={0}。由i**∈I及i*∈J得i**∨i*=1∈I∨J。因此，I∨J=L。故(KI(L)，*)是Boolean代數。

3 結語

給出Quasi-Stone代數上核理想I的判定條件，進而由核理想I構造一個核理想I*，由此證明Quasi-Stone代數上所有核理想構成一個p代數，且進一步證明所有核理想構成一個Boolean代數當且僅當每個核理想都是主核理想。