在指數函數的應用教學中培養學生數學建模能力教學案例

田慶豐

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。

數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。

在數學建模核心素養的形成過程中，積累用數學解決實際問題的經驗。學生能夠在實際情境中發現和提出問題;能夠針對問題建立數學模型;能夠運用數學知識求解模型，并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型;能夠提升應用能力，增強創新意識。

教學目標

1.利用函數圖象及數據表格，比較一次函數與指數函數增長差異;（重點）

2.結合實例體會直線上升，指數爆炸，不同增長的函數模型的意義;

3.會分析具體的實際問題，能夠建模解決實際問題. （難點）

教學過程

（一）問題描述：

假設你有一筆資金用于投資，現在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元;

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

（二）問題分析：

依據什么標準來選取投資方案？日回報效益，還是累計回報效益？

（三）模型假設模型建立

如何建立日回報效益與天數的函數模型？

設第x天所得回報是y元，則

方案一可以用函數 y=40 （xN） 進行描述;

方案二可以用函數 y=10x （xN） 進行描述;

方案三可以用函數 y= （xN） 進行描述.

（四）模型分析求解評價

三個函數模型的增減性如何？

要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析，如何分析？

方案一的函數是常數函數，方案二、方案三的函數都是增函數，但是方案三的函數與方案二的函數的增長情況很不相同.

可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的，從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多;第9天開始 ，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.

下面再看累計的回報數：

結論：投資1～6天，應選擇方案一;投資7天，應選擇方案一或方案二;投資8 ～ 10天，應選擇方案二;投資11天（含11天）以上，應選擇方案三.

（五）課堂練習

1.某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么下輪病毒發作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機?，F在10臺計算機在第1輪病毒發作時被感染，問在第5輪病毒發作時可能有多少臺計算機被感染？

（解析：10×204=1 600 000）

2.以v0 m/s的速度豎直向上運動的物體，t s后的高度h m滿足h=v0t-4.9t2，速度v m/s滿足v=v0-9.8t.現以75 m/s的速度向上發射一發子彈，問子彈保持在100 m 以上的 高度有多少秒？在此過程中，子彈速度大小的范圍是多少？

（解析：子彈保持在100米以上高度的時間是12.35秒，在此過程中，子彈速度大小范圍是v[0，60.496））.

3.A、B兩城相距100 km，某天燃氣公司計劃在兩地之間建一天燃氣站D 給A、B兩城供氣. 已知D地距A城x km，為保證城市安全，天燃氣站距兩城市的距離均不得少于10km.已知建設費用y （萬元）與A、B兩地的供氣距離（km）的平方和成正比，當天燃氣站D距A城的距離為40 km時， 建設費用為1 300萬元.（供氣距離指天燃氣站距到城市的距離）（1）把建設費用y（萬元）表示成供氣距離x （km）的函數，并求定義域;（2）天燃氣供氣站建在距A城多遠，才能使建設供氣費用最小，最小費用是多少？

當x=50時，y有最小值為1 250萬元.

所以當供氣站建在距A城50km， 建設費用最小，最小值1 250萬元.

學生體驗：通過實例和計算機作圖體會、認識直線上升、指數爆炸、等不同函數模型的增長的含義，認識數學的價值，認識數學與現實生活、其他學科的密切聯系，從而體會數學的實用價值，享受數學的應用美.

教學反思：數學建模研究，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題解決問題的能力、動手操作的能力以及用數學語言表達建模過程和建模結果的能力，增強學生應用數學的意識和數學實踐的能力.教師要注意對于學生建模的指導，包括對于實際問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決建模中出現的一些問題.