王瑞鴻, 徐 寶
(吉林師范大學 數學學院, 吉林 四平 136000)
Laplace分布是常見的連續型概率分布,也叫作雙指數分布,具有重尾特征。該分布在證劵金融經濟領域、語音辨識、圖像壓縮過程、工程測繪數據的處理等實際問題中有著重要的應用[1]。
Laplace分布定義:若隨機變量X的密度函數為
(1)
則稱隨機變量X服從Laplace(μ,σ)分布,μ為位置參數,σ為尺度參數,σ>0,且記作X~La(μ,σ)。由Laplace密度函數能夠得到其分布函數為
(2)
在位置參數μ已知時,從Laplace分布中抽取容量為n的簡單樣本X1,X2,X3,…Xn,記X=(X1,X2,X3,…Xn),x=(x1,x2,x3…xn)為X的觀察值。
Linex損失函數也稱為線性指數損失函數,其損失是非對稱的。該損失函數自提出以來,學者們將它應用于參數的統計研究。
Linex損失函數其形式為:
L(δ,h(θ))=b{ec[h(θ)-δ]-c[h(θ)-δ]-1},(c≠0,b>0)
式中:h(θ)是δ的估計;c、b分別為尺度參數和形狀參數,簡寫為
(3)
本文僅考慮c>0的情形。
文獻[2]研究了以倒伽馬分布為共軛先驗分布的Laplace分布參數θ的估計和風險函數,并進行了實例分析。文獻[3]研究了構造一類損失函數,具有較好的去躁效果,導出多元Laplace分布的方差、協方差等。文獻[4]研究Laplace分布的主要性質和各個分布相互之間的聯系以及擬合優度檢驗。文獻[5]討論了2種不同先驗信息分布下,二項分布參數θ的3種類別的貝葉斯估計。王學敏等[6,7]探討了Linex損失的發展,在Gamma分布為共軛先驗分布時,對Poisson分布和Burr分布求出參數的Bayes估計的可容許性和多層Bayes估計。其他學者也對不同的損失函數針對不同分布函數進行研究,并對其中參數進行相關的Bayes估計等[8-11]。
參數估計的優劣水平大部分取決于損失函數的抉擇。選取不同的損失函數,估計量的不同,優良性也會產生差別。本文在Linex損失函數下,當Laplace分布中位置參數已知時,在不同的先驗分布下,研究尺度參數的Bayes估計形式與性質。
在Linex損失函數下,研究Laplace分布尺度參數的Bayes估計的形式。
定理1 在Linex損失函數下,對任意先驗分布,Laplace分布尺度參數θ的Bayes估計為
證明:設Linex損失函數為
則決策函數的Bayes風險為
(4)
要使Bayes估計最小,則需要使Bayes風險最小,即E(P)取最小值,通過求導等于零,推出參數θ的Bayes估計為
(5)
當該分布處于無先驗信息時,設樣本來自Laplace分布,在Linex損失下,以定理的方式給出關于參數的Bayes估計。
定理2 在Linex損失函數下,設樣本來自Laplace分布,取參數θ=(μ,σ)的無信息先驗分布,則參數θ的Bayes估計為
證明:參數θ=(μ,σ)的對數似然函數為
(6)
其Fisher信息陣為
I(θ)=(Iij(θ))2×2
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
θ的無信息先驗密度為
(13)
則在Linex損失函數下,參數θ=(μ,σ)的Bayes的估計為
(14)
當分布的共軛先驗分布為倒伽馬分布時,設樣本來自Laplace分布,在Linex損失下,以定理的方式給出關于參數的Bayes估計。
定理3 在Linex損失函數下,設X1,X2,X3,…Xn是來自Laplace分布的一個簡單隨機變量,取參數σ的共軛先驗分布為ΙΓ(α,β),則
(1)參數σ的唯一Bayes估計為
給定來自Laplace分布的樣本X=(X1,X2,X3,…Xn),則σ后驗概率密度為
從而
(15)
利用Linex損失函數質,研討了Laplace分布中的尺度參數基于不同先驗分布下的Bayes估計的形式。當Laplace分布處于無信息分布時,通過求Fisher信息陣和它的后驗密度,推出其Bayes估計;當Laplace分布取共軛先驗分布為ΙΓ(α,β)時,推測其Bayes估計的唯一性及其可容許性。在現有信息的基礎上豐富了Laplace分布的參數估計,將Linex損失函數應用更加寬泛。