間接荷載作用下梁的內力影響線的靜力解法研究

魏鵬云，李 林

(塔里木大學水利與建筑工程學院，新疆 阿拉爾 843300)

1 引 言

影響線是結構力學的一個重點和難點內容。對于梁的內力影響線，可以按照荷載是否直接作用在梁上而分為直接荷載作用下梁的內力影響線及間接荷載作用下梁的內力影響線，間接荷載作用下梁的內力影響線有些教材又稱為結點承載方式下梁的內力影響線[1-3]。許多同學初學影響線時會感到困惑，尤其是教材里間接荷載作用下梁的內力影響線的做法都是采用先給結論后證明的思想[1-6]，這對初學者來說并不容易從根本上理解，很多同學只是記住了相關結論。

影響線的求解方法主要有靜力法和機動法，本文采用靜力法從3個不同角度直接求解間接荷載作用下梁的內力影響線，這3種求解思路可以加深學生對間接荷載作用下梁的內力影響線的理解，開闊學生的思維，培養學生多角度思考問題的能力，也可以幫助教師拓寬間接荷載作用下梁的內力影響線的教學思路。

2 從力的傳遞角度直接求解

圖1所示為一橋梁結構的承載示意圖，荷載直接在縱梁上面移動，縱梁兩端支在橫梁上面，橫梁由主梁支撐，則荷載會通過橫梁傳遞給主梁，此時主梁的受力就屬于結點方式承載或受間接荷載作用。已知縱梁由A1B1、B1C1及C1D1三段組成，現擬求主梁E截面的彎矩ME和剪力FQE的影響線。

圖1 某橋梁結構的承載示意圖

2.1 建立坐標系

以A點為坐標原點，水平向右為x軸正向。

2.2 求支座反力FRA和FRD

無論FP=1運動到縱梁的任何位置x處，將整個結構整體看成研究對象，對D點取矩，則有：

(1)

由式(1)可得：

(2)

對A點取矩，則有：

(3)

由式(3)可得

(4)

關于支座反力的求法還可以從力的傳遞角度直接求解得到，具體的求解思路與后述的E截面的彎矩ME和剪力FQE的影響線的求解思路一致，故支座反力不再從力的傳遞角度去求解。

2.3 FP=1在縱梁A1B1段運動

當FP=1在縱梁A1B1段運動時縱梁及主梁的受力情況如圖2所示。

(a) FP=1在縱梁A1B1段運動示意圖

(b)縱梁A1B1的反力示意圖圖2 FP=1在縱梁A1B1段運動時縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁A1B1段運動時主梁的內力影響線，做出主梁的受力情況，如圖3所示。

圖3 FP=1在縱梁A1B1段運動時主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點截斷后，取右部分為隔離體作為研究對象，如圖4所示。

圖4 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對E點取矩，則有：

(5)

由式(5)可得：

(6)

列豎向力的平衡方程，則有：

(7)

由式(7)可得：

(8)

2.4 FP=1在縱梁B1C1段運動

當FP=1在縱梁B1C1段運動時，縱梁及主梁的受力情況如圖5所示。

(a)FP=1在縱梁B1C1段運動示意圖

(b) 縱梁B1C1的反力示意圖圖5 FP=1在縱梁B1C1段運動時縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁B1C1段運動時主梁的內力影響線，做出主梁的受力情況，如圖6所示。

圖6 FP=1在縱梁B1C1段運動時主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點截斷后，取右部分為隔離體作為研究對象，如圖7所示。

圖7 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對E點取矩，則有：

(9)

由式(9)可得：

(10)

列豎向力的平衡方程，則有：

(11)

由式(11)可得：

(12)

2.5 FP=1在縱梁C1D1段運動

當FP=1在縱梁C1D1段運動時，縱梁及主梁的受力情況如圖8所示。

(a)FP=1在縱梁C1D1段運動示意圖

(b) 縱梁C1D1的反力示意圖圖8 FP=1在縱梁C1D1段運動時縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁C1D1段運動時主梁的內力影響線，做出主梁的受力情況，如圖9所示。

圖9 FP=1在縱梁C1D1段運動時主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點截斷后，取右部分隔離體作為研究對象，如圖10所示。

圖10 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對E點取矩，則有：

(13)

由式(13)可得：

(14)

列豎向力的平衡方程，則有：

(15)

由式(15)可得：

(16)

2.6 做ME和FQE的影響線

(17)

(18)

由式(17)和式(18)可做ME和FQE的影響線，如圖11、圖12所示。

圖11 ME的影響線

圖12 FQE的影響線

3 將FP=1等效為兩個桿端集中力的求解方法

單位力FP在每段縱梁上面移動時，可將單位力等效為兩個作用在縱梁兩端的豎向集中力。依然以圖1所示的某橋梁結構的承載示意圖為例來說明此法的具體操作步驟。關于坐標系以及支座反力FRA和FRD的求法與前面一致，這里不再贅述。接下來看如何做E截面彎矩ME和剪力FQE的影響線。

3.1 FP=1在縱梁A1B1段運動

當FP=1在縱梁A1B1段運動時，FP=1可等效為圖13所示。觀察圖13可知，要想求得ME和FQE的表達式，只需利用截面法從E截面截斷，取左部分或右部分為隔離體，進而列平衡方程即可，具體的求解過程不再贅述。

圖13 FP=1在縱梁A1B1段運動時力的等效示意圖

3.2 FP=1在縱梁B1C1段運動

當FP=1在縱梁B1C1段運動時，FP=1可等效為圖14所示。觀察圖14可知，要想求得ME和FQE的表達式，只需利用截面法從E截面將縱梁及主梁均截斷，取左部分或右部分作為隔離體，進而列平衡方程即可，具體的求解過程不再贅述。

圖14 FP=1在縱梁B1C1段運動時力的等效示意圖

3.3 FP=1在縱梁C1D1段運動

當FP=1在縱梁C1D1段運動時，FP=1可等效為圖15所示。觀察圖15可知，要想求得ME和FQE的表達式，只需利用截面法將主梁AD從E截面截斷，取左部分或右部分作為隔離體，進而列平衡方程即可，具體的求解過程不再贅述。

圖15 FP=1在縱梁C1D1段運動時力的等效示意圖

3.4 做ME和FQE的影響線

通過上述計算分析可知，ME和FQE的影響線就是圖11和圖12，故這里不再重復。

3.5 與前一種求解方法的對比說明

圖13-圖15所展示的是兩個集中力作用在縱梁的兩個端點上，此端點正好是橫梁的位置，相當于這兩個集中力直接作用在主梁上，也就是圖13與圖3、圖14與圖6、圖15與圖9是完全等價的受力狀態。那么，在取隔離體求解時可以不畫橫梁，也可以畫上橫梁。以FP=1在縱梁B1C1段運動(見圖14)為例，將主梁AD從E點截斷后取右部分為隔離體，如圖16所示，此隔離體上畫上了橫梁。觀察圖16，對E點取矩便可求得ME的表達式。列豎向力的平衡方程，可得FQE的表達式。顯然，ME與FQE的表達式就是式(10)和式(12)的形式，由此也可以說明本方法的正確性。

圖16 DE段隔離體受力示意圖

4 直接切斷主梁和縱梁的求解方法

單位力FP=1在每段縱梁上面移動時，為了獲得待求某量值的影響線，可將縱梁和主梁都切斷，此時縱梁和主梁都會暴露出來內力，而縱梁的內力可以先求出來作為外荷載，從而再通過平衡方程求得待求某量值的影響線。依然以圖1所示的某橋梁結構的承載示意圖為例來說明此法的具體操作步驟。關于坐標系以及支座反力FRA和FRD的求法與前文一致，這里不再贅述。接下來看如何做E截面彎矩ME和剪力FQE的影響線。

為了統一計算及便于與主梁E截面的彎矩ME和剪力FQE進行區分，將縱梁E1截面的彎矩和剪力分別記為ME1和FQE1。

4.1 FP=1在縱梁A1B1段運動

FP=1在縱梁A1B1段移動的示意圖如圖17所示。利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截斷，取右側為隔離體作為研究對象，如圖18所示。

圖17 FP=1在縱梁A1B1段運動的示意圖

圖18 E1E截面以右段隔離體受力示意圖

由于FP=1在縱梁A1B1段移動，則縱梁B1C1段及C1D1段無外荷載作用，故縱梁E1截面處的剪力FQE1和彎矩ME1均為0。因而求ME和FQE時，可將縱梁E1C1段和C1D1段以及橫梁去掉，此時隔離體圖18將與圖4完全一致，故這里不再贅述后面的求解。

4.2 FP=1在縱梁B1C1段運動

當FP=1在縱梁B1C1段移動時，需要分為FP=1在B1E1段和E1C1段(因為FP=1在E1點左側和右側時E1截面的彎矩和剪力的表達式不一致)。

4.2.1FP=1在縱梁B1E1段移動

當FP=1在縱梁B1E1段移動時，如圖19所示。利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截斷，取右側為隔離體作為研究對象，如圖20所示。

圖19 FP=1在縱梁B1E1段運動的示意圖

圖20 E1E截面以右段隔離體受力示意圖

縱梁B1C1段E1截面的彎矩ME1和剪力FQE1的求解如下：

將縱梁B1C1段從E1截面處截開，取E1C1段隔離體為研究對象，如圖21所示。

圖21 縱梁E1C1段隔離體受力示意圖

觀察隔離體圖21，對E1點取矩，則有：

(19)

由式(19)可得：

(20)

列豎向力的平衡方程，則有：

(21)

由式(21)可得：

(22)

由式(20)和式(22)求得ME1和FQE1后，再觀察隔離體圖20，對E點取矩，則有：

(23)

由式(23)可得：

(24)

列豎向力的平衡方程，則有：

(25)

由式(25)可得：

(26)

4.2.2FP=1在縱梁E1C1段移動

當FP=1在縱梁E1C1段移動時，利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截斷，取左側為隔離體作為研究對象，如圖22、圖23所示。

圖22 FP=1在縱梁E1C1段運動的示意圖

圖23 E1E截面以左段隔離體受力示意圖

要想獲得FP=1在縱梁E1C1段移動時E截面的彎矩

ME和剪力FQE，可仿照上文的做法：取縱梁的B1C1段或者E1C1段為隔離體，先求得E1截面的彎矩ME1和剪力FQE1，再觀察隔離體(見圖23)，對E點取矩，獲得E截面彎矩ME的表達式，見式(27)，列豎向力的平衡方程，可得E截面剪力FQE的表達式，見式(28)。

(27)

(28)

觀察式(24)和式(27)、式(26)及式(28)，可得：

(29)

(30)

對比發現，式(29)和式(10)完全一致，式(30)和(12)完全一致，由此可以說明本方法的準確性。

4.3 FP=1在縱梁C1D1段運動

FP=1在縱梁C1D1段移動的示意圖如圖24所示，利用截面法將縱梁C1D1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截斷，取左側為隔離體作為研究對象，如圖25所示。

圖24 FP=1在縱梁C1D1段運動的示意圖

由于FP=1在縱梁C1D1段移動，則縱梁A1B1段及B1C1段無外荷載作用，縱梁E1截面處的剪力FQE1和彎矩ME1均為0。因而求ME和FQE時，可將縱梁A1B1段和B1E1段以及橫梁去掉，然后對E點取矩，可得到ME的表達式。列豎向力的平衡方程，可得到FQE的表達式。ME和FQE的表達式分別與式(14)和式(16)完全一致，具體求解過程這里不再贅述。

圖25 E1E截面以左段隔離體受力示意圖

4.4 做ME和FQE的影響線

通過上述計算分析可知，ME和FQE的影響線就是圖11和圖12，故這里不再重復。

5 結 論

本文以一個橋梁結構的承載示意圖為例，通過3種不同的求解思路獲得了非結點處的主梁某點的彎矩與剪力的影響線。該3種求解思路是對經典教材求解結點承載方式下梁的內力影響線做法的一個補充和闡釋，可以為老師上課講解和加深學生的理解提供有價值的參考。