分段解決掌握好 切線放縮顯靈妙
——一道含絕對值函數題的解析

楊 飛

一、試題評價

例題：函數的最小值

二、一題多解

思路1：把含絕對值的函數寫成分段函數，逐段求最小值，再通過比較得到最小值。

解法1：由題意

所以函數f（x）的最小值為1.

思路2：根據絕對值的定義對進行“放縮”，將其轉化為函數y=2x-1-2lnx，再利用導數求最小值。

解法2：因為令g（′x）=0，解得x=1，易知x=1是函數g（x）極值點，所以函數g（x）min=g（1）=1，而當x=1時所以f（x）≥g（x）≥g（1）=1，所以f（x）min=1.

思路3：根據絕對值的定義對進行“放縮”，再根據lnx≤x-1進行“切線放縮”。

解法3：因為

思路4：先根據lnx≤x-1進行“切線放縮”，再利用“絕對值不等式”性質求得最值。

解法4：因為lnx≤x-1，則

當且僅當x=1時等號成立，所以f（x）的最小值為1.

思路5：數形結合。

解法5：令和h（x）=2lnx，則f（x）的最小值為這兩個函數圖象上橫坐標相同的點的距離的最小值，易求得h（x）在（1，0）處的切線方程為y=2x-2. 如圖：

則x=1時距離最小為g（1）-h（1）=1，所以f（x）的最小值為1.

三、解法反思

1.解含絕對值函數試題的基本途徑是去掉絕對值，常見的策略有以下兩種：

（1）等價轉化策略：①根據絕對值定義，討論絕對值符號內式子的正負，將其寫成分段函數；②根據絕對值的幾何意義，即絕對值表示“變量”和定點之間的距離，如：表示數軸上的動點到定點-1和2的距離之和；③通過“平方”把絕對值運算轉化為平方運算。

2.對于“超越”函數的最值問題，導數的工具性不容忽視。

3.把握式子的結構特征，運用常見的“切線放縮”。

4.運用數形結合思想，將函數的最值轉化為兩個函數圖象上橫坐標相同的兩點間的距離。