帶電粒子在電磁場中運動問題歸類分析

李金丑 宋麗飛

帶電粒子在電磁場中的運動問題，不僅考查考生對共點力平衡、牛頓運動定律、拋體運動、圓周運動、功能關系等重要概念和規律的理解與應用，還考查考生通過受力分析、運動過程分析建構模型以及推理論證的能力。本文對此類習題進行了歸類分析，主要歸納為以下四類問題。

一、帶電粒子在磁場中的運動問題

1.經典習題

例1. 如圖1，在平面直角坐標系Oxy的第一象限內，存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。大量質量為m、電量為q的相同粒子從y軸上的點，以相同的速率在紙面內沿不同方向先后射入磁場，設入射速度方向與y軸正方向的夾角為α（O≤α≤18O°）。當α= 15O°時，粒子垂直x軸離開磁場，不計粒子的重力。則（ ）

圖1

A.粒子一定帶正電

B.當α= 45°時，粒子也垂直x軸離開磁場

【簡析】當α=150°時，粒子垂直x軸離開磁場，由左手定則可知粒子一定帶正電，畫出粒子運動軌跡圖2，由圖中幾何關系可得，粒子軌跡半徑為解得粒子入射速率為時，畫出粒子軌跡如圖3，可以直觀地看出不能垂直x軸離開磁場；當在x軸上的射出點與P點的連線恰好等于軌跡的直徑時，粒子離開磁場的位置到O點的距離最大（如圖4），根據勾股定理解得最大距離為選項ACD正確。

圖2

圖3

圖4

2.要點精析

（1）模型特點：帶電粒子通常不計重力，在磁場中做勻速圓周運動。

（2）思路點撥：根據進入磁場和離開磁場的速度方向確定圓心的位置，利用好“垂直”“相切”“最遠”等臨界條件，畫出粒子運動軌跡圖幫助求解。

二、帶電粒子在電場、磁場組合場中的運動問題

1.經典習題

例2.如圖5，長度均為 的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應強度大小可調節的勻強磁場。一質量為m，電荷量為q（q＞O）的粒子自電場中某處以大小為vO的速度水平向右發射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為6O°，不計重力。

圖5

（1）求粒子發射位置到P點的距離；

（2）求磁感應強度大小的取值范圍；

（3）若粒子正好從QN的中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離。

圖6

圖7

2.要點精析

（1）模型特點：帶電粒子依次通過電場、磁場獨立存在的場區，受力情況隨區域不同而變化，不同區域適用不同的運動規律。電場力大多為恒力，帶電粒子通常做勻變速直線運動或類平拋運動；磁場中通常做勻速圓周運動。

（2）思路點撥：速度是聯系不同階段運動的重要物理量，確定帶電粒子在兩個場區邊界的速度（包括大小和方向）是解題的關鍵。根據受力分析和運動分析，大致畫出粒子的運動軌跡，有利于問題的求解。結合題目情境，挖掘隱含條件，利用數學關系解決半徑、最近或最遠距離等問題。

三、帶電粒子在電場、磁場疊加場中的運動問題

1.經典習題

例3. 霍爾元件是一種重要的磁傳感器，可用在多種自動控制系統中。長方體半導體材料厚為a、寬為b、長為c，以長方體三邊為坐標軸建立坐標系xyz，如圖8所示。半導體中有電荷量均為e的自由電子與空穴兩種載流子，空穴可看作帶正電荷的自由移動粒子，單位體積內自由電子和空穴的數目分別為n和p。當半導體材料通有沿+x方向的恒定電流后，某時刻在半導體所在空間加一勻強磁場，磁感應強度的大小為B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立穩定電場，稱其為霍爾電場，已知電場強度大小為E，沿-z 方向。

圖8

（1）判斷剛加磁場瞬間自由電子受到的洛倫茲力方向；

（2）若自由電子定向移動在沿+x方向上形成的電流為In，求單個自由電子由于定向移動在z方向上受到洛倫茲力和霍爾電場力的合力大小Fnz；

（3）霍爾電場建立后，自由電子與空穴在z方向定向移動的速率分別為vnz、vpz，求△t時間內運動到半導體z方向的上表面的自由電子數與空穴數，并說明兩種載流子在z方向上形成的電流應滿足的條件。

【簡析】（1）由左手定則可判斷出自由電子受到的洛倫茲力沿+z方向；（2）設t時間內流過半導體垂直于x軸某一橫截面自由電子的電荷量為q，由電流定義式有，設自由電子在x方向上定向移動速率為υnx，自由電子的電流微觀表達式為In=neabυnx，單個自由電子所受洛倫茲力大小為F洛=eυnxB，霍爾電場力大小為F電=eE，自由電子在z方向上受到的洛倫茲力和霍爾電場力方向相同，其合力大小為設△t時間內在z方向上運動到半導體上表面的自由電子數為Nn、空穴數為Np，則Nn=nacυnz△t，Np=pacυpz△t，霍爾電場建立后，半導體z方向的上表面的電荷量就不再發生變化，應有Nn=Np，即在任何相等時間內運動到上表面的自由電子數與空穴數相等，這樣兩種載流子在z方向形成的電流大小相等、方向相反。

2.要點精析

（1）模型特點：帶電粒子同時受到電場力與洛倫茲力，通常電場力為恒力，洛倫茲力有可能為恒力，也有可能為變力。

（2）思路點撥：若電場力和洛倫茲力平衡，則帶電粒子做勻速直線運動；若電場力和洛倫茲力不平衡，則帶電粒子將做復雜的曲線運動，因洛倫茲力不做功，通常應用動能定理求解。

四、帶電粒子在交變場中的運動問題

判斷離子在磁場中的運動情況是個難點，對考生空間立體想象能力要求較高，要求考生對運動獨立性原理有深刻理解，在多維運動的情況下能應用這一重要物理觀念分析求解問題。

1.經典習題

例4. 如圖甲所示，空間站上某種離子推進器由離子源、間距為d的中間有小孔的兩平行金屬板M、N和邊長為L的立方體構成，其后端面P為噴口。以金屬板N的中心O為坐標原點，垂直立方體側面和金屬板建立x、y和z坐標軸。M、N板之間存在場強為E、方向沿z軸正方向的勻強電場；立方體內存在磁場，其磁感應強度沿z方向的分量始終為零，沿x和y方向的分量Bx和By隨時間周期性變化規律如圖乙所示，圖中BO可調。氙離子（Xe2+）束從離子源小孔S射出，沿z方向勻速運動到M板，經電場加速進入磁場區域，最后從端面P射出，測得離子經電場加速后在金屬板N中心點O處相對推進器的速度為υO。已知單個離子的質量為m、電荷量為2e，忽略離子間的相互作用，且射出的離子總質量遠小于推進器的質量。

（1）求離子從小孔S射出時相對推進器的速度大小υs；

（2）不考慮在磁場突變時運動的離子，調節BO的值，使得從小孔S射出的離子均能從噴口后端面P射出，求BO的取值范圍；

（3）設離子在磁場中的運動時間遠小于磁場變化周期T，單位時間從端面P射出的離子數為n，且求圖乙中tO時刻離子束對推進器作用力沿z軸方向的分力。

圖9

圖10

2.要點精析

（1）模型特點：帶電粒子依次經歷交替變化的電場或磁場或疊加場，根據場區變換的情況以及粒子在場區運動的時間，可以分為兩種類型：一種是電場或磁場在變化，但是同一帶電粒子只經歷一種確定的場區（如例4）；另一種是同一帶電粒子會經歷不同的場區，從而使運動分解成多個階段，不同階段適用不同的運動規律。

（2）思路點撥：首先，仔組分析電場、磁場的變化特點及相應的時間，確認粒子是按照上述哪類模型運動的；其次，粒子的運動情況不僅與交變電場和磁場的變化規律有關，還與粒子進入場區的時刻有關；最后，如果是同一粒子沿途經歷不同的場區，要關注場區變換時粒子的位置與速度（包括大小和方向），盡量準確畫出粒子運動的軌跡來構造幾何圖形，綜合運用物理規律和幾何關系來分析解決問題。